BASES ORTOGONALES Y ORTONORMALES

Identificación usando
Bases Ortonormales
Juan Carlos Gómez
Laboratory for System Dynamics and Signal Processing
Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura
Universidad Nacional de Rosario, Argentina
E-mail: jcgomez@fceia.unr.edu.ar

Contenido
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ISIS

Introducción
Bases Ortonormales
Identificación usando bases ortonormales
Análisis asintótico de lasestimas
Ejemplos de Simulación
Comentarios Finales

Identificación usando Bases
Ortonormales

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Introducción
• Las estructuras de tipo caja negra en general no permiten
incorporar información 'a priori' sobre la dinámica del sistema.
Excepción

Uso de Bases ortonormales

• El uso de Bases Ortonormales permite disminuir el orden de los
modelos manteniendo el grado de aproximación delos mismos.
• Permiten cuantificar los errores por dinámica no modelada, y
debido a las perturbaciones. Es posible realizar un análisis
asintótico de las estimas similar al existente para modelos FIR
(Ljung & Yuan).
• Los modelos con Bases Ortonormales son aptos para estimación
con mínimos cuadrados (algoritmos robustos, reducida carga
computacional).
ISIS

Identificación usando BasesOrtonormales

3

• Es posible extender los resultados a sistemas multivariables
(Gómez, 1998).
• Es posible obtener realizaciones mínimas en espacio de
estados de los sistemas representados con Bases
Ortonormales.
• Es posible extender los métodos de identificación para
algunas clases de sistemas no lineales (Gómez & Baeyens,
2000).
• Se ha desarrollado una teoría rica, con muchasaplicaciones.

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Identificación usando Bases
Ortonormales

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Bases Ortonormales
• Espacios funcionales
Consideraremos espacios funcionales con estructura de
espacio de Hilbert (espacios con producto interno que son
completos con respecto a la métrica inducida por la norma
inducida por el producto interno), asociados a las funciones
transferencia racionales de sistemas en tiempodiscreto,
causales y estables.

L 2 (T ) : espacio de funciones cuadrado (Lebesgue)

integrables en la circunferencia unitaria en el plano complejo
T = {z : z = 1}. Es un espacio de Hilbert cuando se lo equipa
con el producto interno
ISIS

Identificación usando Bases
Ortonormales

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1
F,G =
2π

π

( )( )

F e j ω G e jω dω
∫

−π

producto interno

O equivalentementeF,G =

( )

1
dz
F (z )G 1
z z
2πj ∫
T

producto interno

H 2 (T ) : el espacio de Hardy (con estructura de Hilbert) de
funciones cuadrado (Lebesgue) integrables en la
circunferencia unitaria, que son analíticas en el exterior del
disco unitario D = z : z < 1 .

{

ISIS

}

Identificación usando Bases
Ortonormales

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Es un subespacio propio de L 2 (T ) con la mismadefinición de producto interno.
Este espacio puede pensarse como el 'espacio de las funciones transferencia racionales en tiempo discreto, causales y estables' .
• Bases Ortonormales

{Β k (q)}k =0
∞

es una base ortonormal del espacio de Hilbert H 2 (T )

si es un conjunto ortonormal completo, i.e. si verifica

B k , B ! = δ k!
con
ISIS

δ k!

la delta de Kronecker, y ademásIdentificación usando Bases
Ortonormales

7

(

)

span {B k (q )}k =0 = H 2 (T )
∞

(genera todo el espacio)

Esto implica que cualquier función del espacio

G (q )∈ H 2 (T )
tiene una representación única de la forma
∞

G (q ) = ∑θ k B k (q )

(1)

k =0

donde

ISIS

θ k = G, Bk .

Identificación usando Bases
Ortonormales

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Identificación usando BasesOrtonormales
La estructura de modelo es

y (n ) = G (q )u (n ) + υ (n )

(2)

donde υ (n ) es una perturbación, que se considerará un proceso
aleatorio.
G(q) es representada como una expansión en bases ortonormales de
la forma (1). Obviamente, como G(q) es desconocida, los coeficientes de la expansión no puede calcularse según θ k = G , B k .
El objetivo es entonces estimar los parámetros de...