Bases Ortogonales

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS
ARMADAS ESPE SEDE LATACUNGA


DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

















ASIGNATURA
NRC
ALGEBRA LINEAL MECATRÓNICA

2136
TEMA:
INFORME
ORTOGONALIDAD
Y BASES ORTOGONALES
1
UNIDAD
FECHA
DOS
14/07/2015

ESTUDIANTES: RONNY AGUIRRE
PROAÑO CHRISTIAN
YORDAN JACOME
SOLIS DANIELCOBEÑA TOMAS


ORTOGONALIDAD
En muchos problemas con espacios vectoriales quien resuelve el ejercicio puede elegir cualquier base que juzgue conveniente para el espacio vectorial.
En espacios con producto interior la solución de un problema a menudo se simplifica el elegir una base en la que los vectores sean ortogonales entre si.
Si v es un espacio vectorial, elconcepto de ortogonal coincide con el de perpendicularidad. Por esta razón la ortogonalidad puede ser considerada con una generalización del concepto de perpendicularidad.
Concepto 1
Un conjunto S de vectores en un espacio vectorial v con producto interno se dice que es ortogonal si bien consiste en un solo vector o bien sus vectores son ortogonales dos a dos.
Concepto 2
Dos conjuntos de vectoresS1 y S2, de un espacio vectorial euclideo v, se dicen ortogonales si todo vector de S1 es ortogonal a todo vector de S2.
Teorema 1
Para que el vector u sea ortogonal al subespacio U, es necesario y suficiente que sea ortogonal respecto a todos los vectores de una base cualquiera del subespacio u.
Teorema 2
Si S= { v1+v2+v3….. vk } es un conjunto ortogonal de vectores diferentes del nulo en unsubespacio vectorial V, entonces S es linealmente independiente.
Teorema 3
Sea V un espacio vectorial de dimensión n, entonces cualquier conjunto de n vectores ortogonales es una base de V.











BASES ORTOGONALES.
Se dice que un vector v de V es ortogonal a un conjunto S1 de vectores, si V son ortogonales, entonces también son ortogonales los subespacios u y w engendrados por S1 y S2.
Teorema 4Para que dos subespacios sean ortogonales es necesario y suficiente que todo vector de cualquier base de un subespacio sea ortogonal a todos los vectores de cualquier base de otro subespacio.
Teorema 6
Sea { u1+u2+u3….. uk} una base de un espacio con producto interior v sea { v1+v2+v3….. vk } donde los v1 están dados de la siguiente manera:
v1 = u1
v2 = u2 -
vk = uk -
SISTEMAS ORTOGONALES.Definición 2.1
Un sistema de vectores {u¯1, . . . , u¯n} se dice ortogonal, si los vectores que lo forman son ortogonales dos a dos:
u¯i · u¯j = 0 para cualesquiera i 6= j, i, j ∈ {1, . . . , n}.
Definición 2.2
Un sistema de vectores {u¯1, . . . , u¯n} se dice ortonormal, si es ortogonal y todos los vectores son unitarios:
u¯i · u¯j = δ j i para cualesquiera i, j ∈ {1, . . . , n}.
Proposicion 2.3Un sistema ortogonal que no contenga al vector ¯0 es un sistema libre.
Prueba: Supongamos que {u¯1, . . . , u¯n} es un sistema ortogonal con todos los vectores no nulos. Supongamos que existen escalares α 1 , . . . , αn verificando:
α 1 u¯1 + . . . + α n u¯n = ¯0.
Si hacemos el producto escalar por un vector ¯uj queda:
(α 1 u¯1 + . . . + α n u¯n) · u¯j = ¯0 · u¯j = 0 ⇒ α 1 u¯1 · u¯j + . . .+ α n u¯n · u¯j = ¯0
Teniendo en cuenta que es un sistema ortogonal, ¯ui · u¯j = 0 si i 6= q. Queda por tanto:
α j u¯j · u¯j = 0
MÉTODO DE ORTOGONALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT
El método de ortogonalización de Gram-Schmidt nos permite transformar una base cualquiera {v1, v2,…., vn} de un subespacio W de Rn o Cn una base ortogonal del mismo. Para comprender la idea fundamental de este método bastacomprender el caso especial en el que tenemos solamente dos vectores linealmente independientes, v1 v2. En este caso, para obtener un sistema ortogonal a partir de estos vectores basta sustituir v2 por su componente transversal respecto a v1, de manera que pasamos de la base {v1, v2} a la base ortogonal {u1, u2} definiendo:


Esta idea puede repetirse el número de veces que sea necesario para...