Trayectorias ortogonales
Hemos visto antes (véase las ecuaciones en variables separadas por ejemplo) que las soluciones de una ecuación diferencial se pueden dar con una ecuación implícitadependiente de un parámetro, o sea como
Esto es una ecuación que describe una familia de curvas. Siempre que fijemos el parámetro C conseguimos una curva y viceversa. Por ejemplo, considere las familias decurvas
donde tenemos los parámetros m y C. Claramente, podemos cambiar los nombres de las variables y todavía tener las mismas curvas geométricas. Por ejemplo, las familias antedichas definen elmismo objeto geométrico que
Observe que la primera familia describe todas las líneas que pasan por el origen (0.0) mientras que el segundo la familia describe todos los círculos centrados en elorigen (incluyendo el caso limite cuando el radio es 0, que reduce a un solo punto (0.0)) (véase los cuadros abajo).
Utilizaremos solamente las variables x e y . Cualquier familia de curvas serescrita como
Uno se puede preguntar el caso opuesto a cualquier familia de curvas se puede generar de una ecuación diferencial? En general, la respuesta es no. Veamos como proceder si la respuestaes si. Primero diferenciamos con respecto a x , y conseguimos una nueva ecuación que implica x , y , , y C. Usando la ecuación original, podemos eliminar el parámetro C de la nueva ecuación.
Ejemplo. Encuentre la ecuación diferencial satisfecha por la familia
Respuesta. Diferenciamos con respecto a x , para conseguir
Puesto que tenemos
entonces conseguimos sustituyendo
El pasosiguiente es rescribir esta ecuación en la forma explicita, cuando sea posible,
Esta es la ecuacion diferencial deseada.
Ejemplo. Encuentre la ecuacion diferencial (en la forma explicita)satisfecha por la familia
Respuesta. Hemos encontrado ya la ecuacion diferencial en la forma implicita
Las manipulaciones algebraicas dan
Reconsideremos el ejemplo de las dos familias
Si...
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