ORTOGONALIDAD

ORTOGONALIDAD.
Ortogonal es un adjetivo que se emplea para nombrar a aquello que se encuentra en un ángulo de 90º. Se trata de una noción que, en el caso de los espacios euclídeos, es equivalente al concepto de perpendicularidad.
Se habla de proyección ortogonal, por otra parte, para nombrar al resultado de dibujar la totalidad de las rectas proyectantes perpendiculares sobre un cierto plano. Alrealizar esta proyección, se establece un vínculo entre los puntos del componente proyectante y los puntos del elemento proyectado.
Supongamos que deseamos realizar la proyección ortogonal de un segmento PR sobre una recta T. Para esto tendremos que proyectar los extremos de PR a través de líneas que sean perpendiculares a T, lo que permitirá conocer la proyección ortogonal del segmento sobredicha recta. La intersección entre las líneas proyectantes y T  crea un nuevo segmento, que podríamos denominar MN. Cuando el segmento PR es paralelo a la recta T, el segmento MN resultará análogo a PR


En matemáticas, el término ortogonalidad (del griego orthos —recto— y gonía —ángulo—) es una generalización de la noción geométrica de perpendicularidad. En el espacio euclídeo convencional eltérmino ortogonal y el término perpendicular son sinónimos. Sin embargo, en espacios de dimensión finita y en geometrías no euclídeas el concepto de ortogonalidad generaliza al de perpendicularidad.
Definición
Formalmente, en un espacio vectorial con producto interior V, dos vectores  e  son ortogonales si el producto escalar de  es cero. Esta situación se denota . Además, un conjunto A se dice que esortogonal a otro conjunto B, si cualquiera de los vectores de A es ortogonal a cualquiera de los vectores del conjunto B.
Ortogonalidad y perpendicularidad
En geometría euclídea se tiene, dos vectores  e  ortogonales forman un ángulo recto, los vectores  y  lo son ya que, . En espacios no euclídeos puede definirse de modo abstracto el ángulo entre dos vectores a partir del producto interior.Ortogonalidad respecto de una matriz (A-ortogonalidad)
Dados dos vectores  y  pertenecientes a un espacio vectorial de dimensión  y una matriz  de dimensión , si el productor escalar , notado , es igual a cero, se dice que  y  son ortogonales respecto a la matriz  o A-ortogonales. Un conjunto de  vectores  se dice que forma una base A-ortonormal si para todo .


INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CALKINÍEN EL ESTADO DE CAMPECHE









INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES


QUINTO SEMESTRE


MATEMÁTICAS V (ACM-0407)

ING. JULIO CÉSAR PECH SALAZAR


Subtema 5.2

CONJUNTOS ORTOGONALES Y CONJUNTOS ORTONORMALES






Material de apoyo
MATEMÁTICAS V
INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
Clave de la asignatura: ACM-0407
UNIDAD
NOMBRE
TEMAS Y SUBTEMAS
V
Series De Fourier
5.2 Conjuntosortogonales y conjuntos ortonormales


5.2 Conjuntos ortogonales y conjuntos ortonormales.

Sean  (x) y (x) dos funciones reales que están definidas en un intervalo
 a ≤ x ≤ b, de tal manera que la integral de el producto (x) (x) existe en el intervalo. Denotaremos esta integral por
(,). Entonces:

(1)
Se dice que las funciones
y 
son ortogonales en el intervalo

a ≤ x ≤ b si

 
 

Unconjunto de funciones reales (x), (x), (x), ... es llamado conjunto ortogonal de funciones en el intervalo a ≤ x ≤ b si todas están definidas en el intervalo y si todas las integrales (,)existen y son cero para todos los pares distintos de funciones.   
La raíz cuadrada de (,)es llamada norma de y es generalmente denotada por || || ; entonces

(2)
Es claro que, un conjunto ortogonal (x), (x), (x), ...en el intervalo      a ≤ x ≤ b cuyas funciones tienen norma 1 satisfacen la condición

 Dicho conjunto es llamado conjunto ortonormal de funciones en el intervalo a ≤ x ≤ b .
Obviamente, de un conjunto ortogonal podemos obtener un conjunto ortonormal dividiendo cada función entre su norma.



DEFINICIÓN DE CONJUNTOS ORTONORMALES Y CONJUNTOS ORTOGONALES:


Se dice que las funciones
y 
son...