Bases

Base (álgebra)

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Base (álgebra)
En álgebra lineal, se dice que un conjunto ordenado B es base de un espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones: • Todos los elementos de labase B deben pertenecer al espacio vectorial V. • Todos los elementos de la base B deben ser linealmente independientes. • Todo elemento de V se puede escribir de manera única como una combinaciónlineal de los elementos de la base B, es decir B es un sistema generador de V.[1]

Lema de Zorn y existencia de bases
Mediante el uso del lema de Zorn, es posible probar que todo espacio vectorial poseeuna base. Pese a que es posible que un espacio vectorial no posea una única base, se cumple que todo par de bases de un mismo espacio vectorial tienen la misma cardinalidad. En este caso, talcardinalidad sera llamada como la dimensión del espacio vectorial. Otras propiedades, consecuencias del lema de Zorn: • Todo sistema generador de un espacio vectorial contiene una base vectorial (de Hamel).• Todo conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial, puede ser extendido a una base.

Observaciones adicionales
1. Las bases son conjuntos ordenados. Es decir que si bien {a,b,c} y{b,a,c} generan el mismo espacio vectorial, las bases no son iguales. 2. De la observación anterior se desprende que las bases no son únicas. En general, suele haber infinitas bases distintas para unmismo espacio vectorial. Por ejemplo, si , una posible base de V es:

Pero otras posibles bases de V son:

En general, una base cualquiera estará formada por tres vectores linealmente independientesque pertenezcan a

.

Cuando el espacio vectorial en sí mismo es un conjunto finito entonces necesariamente existe un número finito de bases. 1. Si V es un espacio vectorial de dimensión finita,entonces todas las bases de V serán finitas y tendrán la misma cantidad de elementos. 2. No todas las bases tienen un número finito de elementos. Por ejemplo, las bases del espacio vectorial de los...