Basico ecuaciones diferenciales

Introducción

En el estudio de las ciencias e ingeniería, así como en otros campos tales como, la economía, medicina, psicología, investigación de operaciones entre otros, se desarrollan modelos matemáticos para ayudar a comprender la fenomenología o el origen de ciertos problemas físicos, biológicos, sociales, etc. Estos modelos a menudo dan lugar a una ecuación que contiene ciertas derivadasde una función incógnita o función desconocida. A una ecuación de este tipo se le denomina ecuación diferencial.

Cabe destacar, que la manipulación de una ecuación diferencial no dista mucho del trato dado a una ecuación del tipo algebraico en lo que a la determinación de sus raíces se refiere, de hecho, el objetivo que sigue cada uno de estos dos problemas citados es exactamente el mismo, ladeterminación de un ente matemático desconocido, llámese función ó llámese variable según sea el caso, que reduzca a la ecuación original a una identidad, dicho en otras palabras, la determinación de una solución que satisfaga a la ecuación dada. Para ilustrar lo anterior analicemos los siguientes ejemplos.

1. Se desea graficar la función [pic] .

Puesto que [pic] es una funcióncuadrática, de los cursos de geometría sabemos que esta, representa una parábola que se puede dibujar del siguiente modo.

Expresemos primero a [pic] en una forma más apropiada

[pic]

por tanto [pic]se puede expresar de manera equivalente como

[pic]
o bien (1)[pic]

la expresión anterior nos indica que el vértice de la parábola tiene coordenadas [pic] y que abre hacia abajo, sin embargo esta información no es suficiente para hacer el trazo de la gráfica, falta todavía determinar los puntos de intersección de la gráfica de la función y el eje de las [pic]s, es decir, los valores de [pic] para los cuales [pic].

Si [pic], entonces la función sereduce a la siguiente ecuación algebraica de segundo grado:

[pic]

siendo [pic] en este caso, una incógnita o variable desconocida, la cual pude tomar los valores aun no determinados[pic], tales que

[pic]

los valores de [pic] se pueden obtener resolviendo (2) con la formula general o bien descomponiendo esta en los términos lineales

[pic].

Así concluimos que [pic], son losvalores de [pic] en donde la gráfica de la función intersecta al eje de las [pic]s, y la información necesaria para esbozar la gráfica de [pic] esta completa por lo que podemos proceder

[pic]

Por otro lado, si reemplazamos los valores [pic] en la ecuación (2) tenemos

[pic]

entonces decimos que por otro lado [pic] reducen a la ecuación (2) a una identidad y por tanto concluimos que[pic] representan una solución a la ecuación algebraica (2).

2. Caída Libre de un Cuerpo:
En este ejemplo se puede aplicar la segunda Ley de Newton, la cual establece que la masa del objeto multiplicada por su aceleración es igual a la fuerza total que actúa sobre él. Esto nos conduce a la ecuación diferencial siguiente

[pic]

Donde “m” es la masa del objeto, la funciónincógnita o función desconocida “y” es su altura sobre el suelo, “g” la constante de gravedad, y “–mg” la fuerza debida a la gravedad. Cancelando “m” en ambos miembros de (4) esta ecuación diferencial toma la forma:

[pic]
o equivalentemente
[pic]
[pic].

En este caso, por integración inmediata es fácil despejar a “y”, en la ecuación anterior, esto es:
[pic]por tanto:
[pic],
que representa la velocidad del objeto a cualquier instante de tiempo t.

Repitiendo el mismo proceso en la ecuación anterior se tiene:

[pic][pic]

así:
[pic]
Las constantes de integración C1 y C2, se pueden determinar si se conoce su altura y la velocidad inicial del objeto. Así pues, se tiene por un lado, que la función dada en (6)...