binomial

Distribución Binomial
Objetivo.-

Exponer la Distribución Binomial

Tareas desarrolladas para el alumno. Para la práctica calificada y para el examen final

LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL: Es una distribución discreta de probabilidad que puede utilizarse para determinar la probabilidad de obtener un número determinado de éxitos en un proceso Bernoulli.
Un proceso de Bernoulli es unproceso de muestreo en el que:

1. Existen n pruebas idénticas que conducen a uno de dos resultados mutuamente excluyentes de éxito o fracaso.
2. La probabilidad de éxito se designa por p, permanece constante para todas las pruebas
3. Los resultados de las pruebas son eventos independientes.

La distribución de probabilidad de x éxitos en n pruebas es:Dónde:
n: número de ensayos
x : número de éxitos en cada ensayo.
: Número de maneras de obtener exactamente x éxitos en n pruebas
p : probabilidad de éxito en cualquier prueba
q = 1-p probabilidad de fracaso en cualquier prueba
Parámetros:


Ejemplo 1: Una compañía de encuestas determina que el 30% de los habitantes de Lima Metropolitana leeperiódico en la noche. Si aleatoriamente se escogen 3 persona dentro de esa población. ¿Cuál es la probabilidad de que?
a) Se elijan exactamente 2 personas que lean periódico en la noche

n =3
x =2
p =.0.3 lee periódico en la noche
q = 0.7 no lee periódico en la noche


Comparando
0
1
2
3

p =0.3
3
2
1
0

p =0.7
=
= 0.189

b)Ninguno lee periódico en la noche




c) Al menos una persona lea periódico en la noche


=1- 0.343 =0.657



d) Hallar P(1 X 3)

P (1 X 3) = P(X = 3) – P(X=0) = 1.0000 – 0.3430 = 0.6570

e) Hallar

LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Ejemplos:
Los siguientes son ejemplos típicos de experimentos y variables aleatorias que producen distribuciones binomiales.
1. Se lanza una moneda 20veces y un observador registra el número de caras que caen. Este experimento consta de 20 ensayos (n = 20), cada lanzamiento es un ensayo independiente de cualquier otro. Todo ensayo produce una cara o una cruz, cada una de las cuales tiene una probabilidad de 0.5 (p = 0.5, 1 - p= 0.5). La variable aleatoria Y es el número de caras en los 20 lanzamientos. Y tiene la siguiente media y varianza.

=n p = 20 (0.5) = 10, = n p (1 - p) = 20 (0.5) (0.5) = 5.

2. Diez vacas y diez toros son apareados. El ganadero conoce, por observaciones previas, que la probabilidad de que un rasgo particular heredable se presente es de ¼ (o 0.25). Después de que las vacas tienen sus crías, el ganadero cuenta las que tienen el rasgo, cada uno de los diez apareamientos representa un ensayo independiente,así n = 10. Cada becerro puede poseer el rasgo o no; por tanto, la probabilidad p es iguala ¼ y 1 - p es igual a ¾. La variable aleatoria Y es el número de becerros que poseen el rasgo. Por tanto
= n p = n p (1 -p)
= 10 (0.25) = 2.5 = 10 (0.25) (0.75) = 1.875

La desviación estándar es = = 1.369.

3. En una comunidad dada, el 5% de la población es iletrada. Laescuela del distrito muestrea a 100 personas con reemplazamiento, y cuenta el número de iletrados en la muestra. En este caso, cada persona seleccionada como parte de la muestra representa a un ensayo; por tanto, n = 100. Ya que el muestreo está dado con reemplazamiento, cada ensayo es independiente de todos los otros y produce un individuo letrado o iletrado. La probabilidad de obtener unapersona iletrada sobre un ensayo dado es de 0.05 (p= 0.05). La variable aleatoria Y es el número de personas iletradas dentro de las 100 seleccionadas. Por tanto,

= n p (1 -p)
= 100 (0.05) = 5 = 100 (0.05) (0.95) = 4.75

Además, la desviación estándar es igual a 2.179, con tres lugares decimales.

Más ejemplos:
En los siguientes problemas, determine las probabilidades...