Biomoleculas

Ingenier´ Matem´tica ıa a
FACULTAD DE CIENCIAS ´ F´ ISICAS Y MATEMATICAS UNIVERSIDAD DE CHILE ´ Introducci´n al Algebra 08-1 o

SEMANA 7: SUMATORIAS

Departamento de Ingenier´ Matem´tica - Universidad de Chile ıa a

Importante: Visita regularmente http://www.dim.uchile.cl/~algebra. Ah´ encontrar´s las gu´ de ejercicios ı a ıas y problemas, adem´s de informaci´n a o acerca de cu´l ser´ ladin´mica del curso. a a a

6.2.

Progresiones aritm´ticas e
n

Definici´n 6.2 (Progresi´n aritm´tica). Es una sumatoria del tipo o o e (A + kd)
k=0

Usa estas notas al margen para consultar de manera m´s r´pida el maa a terial. Haz tambi´n tus propias e anotaciones.

es decir, donde ak = A + kd, para valores A, d ∈

Ê.
n

Utilizando las propiedades de sumatoria, obtenemos que estasuma es igual a
n

A·
k=0

1+d·
k=0

k

Nos basta, entonces, calcular la sumatoria
n

k
k=0

Para ello utilizaremos el m´todo de Gauss: como la suma en e
n

Ê es conmutativa, entonces

S=
k=0

k

puede ser calculado de las dos formas siguientes S = 0 + 1 + 2 + . . . + (n-1) + n S = n + (n-1) + (n-2) + . . . + 1 + 0 Si sumamos estas dos igualdades, obtenemos S =0+ 1 + 2 +. . . + (n − 1) + n S = n + (n − 1) + (n − 2) + . . . + 1 +0 2S = n + n + n +...+ n +n Como cada suma posee (n + 1) sumandos, obtenemos que S= n(n + 1) 2

Proposici´n 6.2. Si n ≥ 0, o

n

k=
k=0

n(n + 1) 2

91

´ Demostracion. Por inducci´n sobre n ≥ 0. o Caso n = 0: Hay que demostrar que
0

k=
k=0

0·1 2

lo cual es directo pues ambos lados valen 0. Supongamos que laf´rmula vale para alg´ n n ≥ 0. Entonces o u
n+1 n

k
k=0

= = = =

(n + 1) +
k=0

k

(n + 1) +

n(n + 1) (Aqu´ aplicamos la hip´tesis inductiva.) ı o 2 (n2 + n) + 2(n + 1) 2 n2 + 3n + 2 (n + 1)(n + 2) = 2 2

con lo que completamos la demostraci´n. o Es importante notar que
n n n

k =0+
k=0 k=1

k=
k=1

k

por lo que es irrelevante si la suma se considera desde k = 0 o desde k= 1. Tambi´n, notemos que si 1 ≤ n1 ≤ n2 son n´ meros naturales, entonces e u
n2 n2 n1 −1

k=
k=n1 k=0

k−
k=0

k=

(n1 + n2 )(n2 − n1 + 1) n2 (n2 + 1) (n1 − 1)n1 − = 2 2 2

por lo que sabemos calcular esta suma entre cualquier par de n´ meros. u

Finalmente, volviendo a la progresi´n aritm´tica, podemos ahora dar su f´rmula expl´ o e o ıcita: Proposici´n 6.3 (F´rmula progesi´naritm´tica). o o o e
n

(A + kd) = A(n + 1) + d
k=0

n(n + 1) 2

6.3.

Progresiones geom´tricas e
n

Definici´n 6.3 (Progresi´n geom´trica). Es una sumatoria del tipo o o e Ark
k=0

es decir, donde ak = Ark , para valores A, r ∈

Ê.

92

Departamento de Ingenier´ Matem´tica - Universidad de Chile ıa a

Supongamos que r = 1. El caso r = 1 es muy sencillo, y queda como ejerciciopara el lector. Similarmente a como procedimos antes, podemos decir que esta suma equivale a
n

A·
k=0

rk

por lo que basta calcular esta ultima sumatoria. ´ Denotemos S=
k=0 n

rk

Se tiene entonces que r·S =

n

rk+1
k=0

por lo que S−r·S =

n

(rk − rk+1 )
k=0 n

S−r·S =

(rk − rk+1 )
k=0

Reconocemos en esta ultima igualdad una suma telesc´pica, la cual valer0 − rn+1 . Por lo ´ o tanto S(1 − r) = 1 − rn+1 y gracias a que r = 1 se obtiene la f´rmula o Propiedad 4. Si n ≥ 0 y r = 1,
n

rk =
k=0

1 − rn+1 1−r

Queda propuesto al lector demostrar por inducci´n esta propiedad. o Nuevamente es posible calcular esta suma entre cualquier par de n´ meros. Si 1 ≤ n1 ≤ n2 , u entonces n1 −1 n2 n2 1 − rn2 +1 1 − rn1 rn1 − rn2 +1 rk − rk = rk = − = 1−r 1−r1−r
k=n1 k=0 k=0

As´ volviendo al caso de la progresi´n geom´trica, obtenemos que ´sta cumple la f´rmula ı, o e e o

Proposici´n 6.4. F´rmula progresi´n geom´trica Si r = 1, o o o e
n

Ark =
k=0

A(1 − rn+1 ) 1−r

93

Departamento de Ingenier´ Matem´tica - Universidad de Chile ıa a

6.4.

Algunas sumas importantes

Veamos a continuaci´n algunas sumas importantes que...