Bode

Diagramas de Bode
IE-1009 Sistemas en Tiempo Discreto
Definición
Sea una función de transferencia G ( z ) , los diagramas de Bode consisten
en una gráfica de magnitud y otra de fase.
•Magnitud: 20 log G (e jωT ) dB vs ω rad/s

•

Fase: ∠G e jωT grados vs ω rad/s

(

)

Ventajas de los diagramas de Bode
•

La curva de magnitud está en dB por lo que si se da un cambio en laganancia de G ( z ) , implica un movimiento hacia arriba o hacia abajo de
la curva de magnitud sin distorsionar la forma original.

•

Si se da una multiplicación entre G ( z ) y otra función detransferencia

H ( z ) , la magnitud resultante sería igual a la suma de las magnitudes
independientes. En el caso de la fase, sucede algo similar.

(

)(

)

(

)
)] + ∠[H (e )]

(20 log G e jωT H e jωT = 20 log G e jωT + 20 log H e jωT

[(

)(

)]

[(

∠ G e jωT H e jωT = ∠ G e jωT
•

jωT

) (1)

(2)

Si la función G ( z ) , tienen un retardo puro nT que seaigual a un múltiplo
entero del periodo de muestreo la curva de magnitud de los diagramas
de Bode no se ve afectada, sin embargo el diagrama de fase disminuye
por nωT en la frecuencia ω .

•En el dominio de la frecuencia s, las gráficas de Bode se pueden
aproximar mediante líneas rectas. Sin embargo esto no es posible en el
dominio z.

Para poder aproximar mediante líneas rectas, senecesita de una
transformación bilineal que permita mapear el círculo unitario del plano z al eje
imaginario de otro plano complejo. Por esta razón se transforma la variable z a
otra variable w.w=

1
ln ( z )
T

(3) Transformación bilineal

Si se desarrolla ln( z ) en series de potencias y se considera el primer
término, se obtiene:
 2  z − 1 
w =  

 T  z + 1 (4)

2
 +w
T
z= 
2
 −w
T 

(5)

Despejando para z,

Las dos ecuaciones anteriores representan lo que se conoce como la
transformación w.
Si se sustituye z = e jωT = cos(ωT...