Boletin Algebra
Páginas: 3 (507 palabras)
Publicado: 2 de octubre de 2012
´ ALGEBRA
Universidade de Vigo Departamento de Matemática Aplicada II E.T.S.I. Minas
Curso 2012/2013 Bolet´ no 1 ın
MATRICES Y DETERMINANTES
1. Sea A = (aij ) ∈ M4×4 (R) la matriz definidapor aij = |i − j| para 1 ≤ i, j ≤ 4 y sea B = (bij ) ∈ M4×4 (R) donde bij = Calcular los productos AB y BA. 2. Sea A una matriz cuadrada. Demostrar que A + At y At A son sim´tricas. e 3. Dado u ∈ Rntal que ut u = 1, se define la matriz H(u) = I − 2uut ∈ Mn×n (R) (llamada matriz de Householder). Probar que H(u) es sim´trica y ortogonal. e 4. Probar que la matriz A= no tiene ra´ ıces cuadradas. 5.Calcular, seg´n u 2α β 2 αβ A= 2 β los distintos valores de α, β ∈ R, el rango de las matrices: 1 α+2 1 1 α−1 1 , B= α α−1 1 α−1 α α+1 0 α+1 α−1 α 3 4 2 0 1 2 α 1 1 1 1 −1 1 , E = 1 −1 2 β . C= 1 α 1 α , D= α 4 3 2 1 1 α α 0 2 −3 α 1 α 0 0 1 0 0 ∈ M2×2 (R) ij si i = j 0 si i = j.
1
6. Calcular la forma escalonada las matrices 1 0 −2 1 A= −2 1 0 2β tengan el mismo rango.
reducida de B y determinar α, β ∈ R para que 1 α , 2 1 4 B = −1 1 2 2 −6 1 −6 −7 −3 − 12
7. Calcular la inversa de cada una −1 2 3 0 1 2 , B= A= 1 0 0
de las siguientes matrices: 0 −1 0 −1 2 −1 3 2 , C= 1 0 2 2 3 −1 5 5
1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 . 3 4
8. Sean A, B ∈ M2×2 (R) tales que AB = 1 2 8 α y BA= 2 1 4 β .
Utilizar las propiedades del determinante y la traza para calcular los valores de α y β. 9. Sea A ∈ Mn×n (R). Probar que: (a) Si A es ortogonal entonces det (A) = ±1. (b) Si n es impary A es antisim´trica entonces det (A) = 0. e 10. Dados α, β ∈ R, se considera la matriz A = (aij ) ∈ M4×4 (R) definida por aij = Calcular el determinante de A. 11. Calcular el determinante de lamatriz α+1 1 1 3 2α α+β β β A= α β β β α+1 1+β 1+β 3+β α si i = j β si i = j
seg´n los valores de α, β ∈ R. ¿Para qu´ valores de α y β es A regular? u e 12. Clasificar las siguientes...
Universidade de Vigo Departamento de Matemática Aplicada II E.T.S.I. Minas
Curso 2012/2013 Bolet´ no 1 ın
MATRICES Y DETERMINANTES
1. Sea A = (aij ) ∈ M4×4 (R) la matriz definidapor aij = |i − j| para 1 ≤ i, j ≤ 4 y sea B = (bij ) ∈ M4×4 (R) donde bij = Calcular los productos AB y BA. 2. Sea A una matriz cuadrada. Demostrar que A + At y At A son sim´tricas. e 3. Dado u ∈ Rntal que ut u = 1, se define la matriz H(u) = I − 2uut ∈ Mn×n (R) (llamada matriz de Householder). Probar que H(u) es sim´trica y ortogonal. e 4. Probar que la matriz A= no tiene ra´ ıces cuadradas. 5.Calcular, seg´n u 2α β 2 αβ A= 2 β los distintos valores de α, β ∈ R, el rango de las matrices: 1 α+2 1 1 α−1 1 , B= α α−1 1 α−1 α α+1 0 α+1 α−1 α 3 4 2 0 1 2 α 1 1 1 1 −1 1 , E = 1 −1 2 β . C= 1 α 1 α , D= α 4 3 2 1 1 α α 0 2 −3 α 1 α 0 0 1 0 0 ∈ M2×2 (R) ij si i = j 0 si i = j.
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6. Calcular la forma escalonada las matrices 1 0 −2 1 A= −2 1 0 2β tengan el mismo rango.
reducida de B y determinar α, β ∈ R para que 1 α , 2 1 4 B = −1 1 2 2 −6 1 −6 −7 −3 − 12
7. Calcular la inversa de cada una −1 2 3 0 1 2 , B= A= 1 0 0
de las siguientes matrices: 0 −1 0 −1 2 −1 3 2 , C= 1 0 2 2 3 −1 5 5
1 1 1 1
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 . 3 4
8. Sean A, B ∈ M2×2 (R) tales que AB = 1 2 8 α y BA= 2 1 4 β .
Utilizar las propiedades del determinante y la traza para calcular los valores de α y β. 9. Sea A ∈ Mn×n (R). Probar que: (a) Si A es ortogonal entonces det (A) = ±1. (b) Si n es impary A es antisim´trica entonces det (A) = 0. e 10. Dados α, β ∈ R, se considera la matriz A = (aij ) ∈ M4×4 (R) definida por aij = Calcular el determinante de A. 11. Calcular el determinante de lamatriz α+1 1 1 3 2α α+β β β A= α β β β α+1 1+β 1+β 3+β α si i = j β si i = j
seg´n los valores de α, β ∈ R. ¿Para qu´ valores de α y β es A regular? u e 12. Clasificar las siguientes...
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