Cálculo del flujo potencial empleando el método de diferencias finitas

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CÁLCULO DEL FLUJO POTENCIAL EMPLEANDO EL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS

Francisco Sánchez-Mares (2004)

Colegio Lincoln A. C., Av. Mahatma Ghandhi No. 350, Fraccionamiento Pilar Blanco, Aguascalientes, Ags., fsanchez96@hotmail.com

RESUMEN

Las principales aplicaciones de la teoría de flujopotencial se encuentran en áreas como la aerodinámica y la hidrodinámica marina. En este trabajo se presenta una metodología eficiente para simular el flujo potencial en geometrías complejas empleando como estrategia de solución el método de diferencias finitas (MDF) y la técnica de optimización global evolución diferencial (ED).

1. INTRODUCCIÓN

La solución de problemas de diseño enel área de la mecánica de fluidos como el flujo sobre superficies curvas a lo largo de las alas de un aeroplano, fuentes, drenes, válvulas, compresores y cuerpos sumergidos implica el conocimiento adecuado del perfil de velocidad y de presión. No obstante, las soluciones disponibles están limitadas sólo para algunos sistemas (geometrías simples), y flujos unidireccionales.

Unaalternativa simple para estas limitantes la presenta la teoría del flujo potencial que provee una buena aproximación a la solución de estos problemas de diseño y permite obtener una visión más amplia de las situaciones reales de flujo.

Por lo anterior, el objetivo de este trabajo es proponer una metodología eficiente para simular el flujo potencial en geometrías complejas.

2. FUNDAMENTOSTEÓRICOS

Para considerar un flujo como potencial se deben reunir las siguientes condiciones:

1. Fluido no viscoso.
2. Fluido incompresible.
3. Flujo irrotacional.
4. Movimiento bidimensional.

Flujo potencial bidimensional

De la consideración de flujo irrotacional se puede establecer que para un flujo potencial

[pic] (1)donde el vector velocidad para dos dimensiones está compuesto por

[pic] (2)

y el operador[pic]para dos dimensiones se puede escribir de la siguiente forma
[pic] (3)

Por lo tanto, existe una función escalar ( tal que

[pic](4)
donde ( es la velocidad potencial.

La ecuación de continuidad con la consideración de fluido incompresible y en términos de la función potencial ( se puede escribir de la siguiente forma

[pic] (5)
La Ecuación (5) se conoce como la Ecuación de Laplace y tiene como principal característica ser lineal.
Si ahora se defineuna función (, la cual se denomina función de corriente, la vorticidad puede ser escrita como

[pic] (6)

donde las velocidades para las dos dimensiones pueden ser establecidas como

[pic] (7)

[pic] (8)

Por lo tanto, de laEcuaciones (7) y (8) se puede concluir que las líneas potenciales y las de corriente son perpendiculares entre si.

Método de diferencias finitas para resolver la Ecuación de Laplace

La Ecuación (5) esta sujeta a conocer los valores de [pic] a lo largo de la superficie del cuerpo de interés y de [pic] en la corriente. El método de diferencias finitas (MDF) divide el ducto por dondese desplaza el flujo en mallas de igual tamaño. La Figura 1 ilustra el MDF en dos dimensiones aplicado a un nodo.
[pic]

Figura 1. Definición gráfica del MDF en dos dimensiones para un sólo nodo.

En el esquema anterior los subíndices i y j denotan la posición del nodo en el mallado y [pic] representa el valor de la función de corriente en cada nodo. Por lo tanto,

[pic]...