Método De Las Diferencias Finitas

Método de las diferencias finitas.

Introducción.

En la búsqueda de una descripción cualitativa de un determinado fenómeno físico, por lo general se plantea un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.) o un sistema de ecuaciones diferenciales parciales (E.D.P.), válidas para determina región, e impone sobre dicho sistema condiciones de frontera e iníciales apropiadas.

Es enesta parte donde el modelo matemático esta completo, y es aquí donde aparece la mayor dificultad, dado que solamente la forma más simple de ecuaciones, con fronteras geométricas triviales es capaz de ser resuelta en forma exacta con los métodos matemáticos disponibles.

Con el fin de evitar tales dificultades y lograr resolver el problema con ayuda de computadoras, es necesario presentar elproblema de una manera puramente algebraica.

Mediante el proceso de discretización, el conjunto infinito de números que representa la función o funciones incógnitas en el continuo es reemplazado por un número finito de parámetros incógnita, y este proceso requiere alguna forma de aproximación.

Entre las diferentes formas de discretización posibles, una de las más simples es mediante el métodode las diferencias finitas.

Serie de Taylor.

El Teorema de a Serie de Taylor y su fórmula, la Serie de Taylor, es de gran valor en el estudio del método de las diferencias finitas.

La serie de Taylor proporciona un medio para predecir un valor el de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto, el teorema establece que cualquier función puedeaproximarse con un polinomio.

Teorema de la Serie de Taylor.

Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a y x, entonces el valor de la función en x esta dado por

f(x)=f(a)+f^' (a)(x-a)+f^''(a) /2! (x-a)^2+f^'''(a) /3! (x-a)^3+⋯

…+(f^((n) ) (a))/n! (x-a)^n+R_n(171)

Donde R_n, se define como

R_n=∫_a^x▒〖(x-t)^n/n! f^((n+1) ) (t)dt〗 (172)

Donde t=a es una variable muda la ecuación (171) se llama la serie de Taylor o formula de Taylor. Si se omite el residuo, el lado derecho de la ecuación (171), es la aproximación del polinomio de Taylor para f(x). La ecuación (172), es sólo una maneradenominada de la fórmula integral, mediante la cual puede expresarse el residuo.

Diferenciación Numérica (Diferencias Finitas).

Aproximación a la primera derivada con diferencia hacia adelante.

Se utilizara la serie de Taylor para obtener la primera derivada con diferencia hacia adelante:

f(x_(i+1) )=f(x_i )+(f^' (x_i )h)/1!+(f^'' (x_i ) h^2)/2!+⋯(173)

Se truncara en la primera derivada quedando la ecuación de la siguiente manera:

f(x_(i+1) )=f(x_i )+(f^' (x_i )h)/1! (174)

El término x_(i+1), denotara que son diferencias hacia adelante por el signo (+), despejando la primera derivada obtenemos,

f^' (x_i )=(f(x_(i+1) )-f(x_i ))/h(175)

Donde

(f(x_(i+1) )-f(x_i ))/h=(Δf_i)/h

Y se le conoce como primera diferencia finita dividida. Y siendo esta la primera diferencia finita hacia adelante.

Aproximación a la primera derivada con diferencia hacia atrás.

Una vez más se utiliza la serie de Taylor con la diferencia de que los signos cambiaran, siendo el término x_(i-1)

f(x_(i-1))=f(x_i )-(f^' (x_i )h)/1!+(f^'' (x_i ) h^2)/2!+⋯ (176)

De nuevo se trunca en la primera derivada quedando la ecuación como:

f(x_(i-1) )=f(x_i )-(f^' (x_i )h)/1! (177)

Despejando la primera derivada se obtiene:

-f^' (x_i )=(f(x_(i-1) )-f(x_i ))/h

Multiplicando por (-1)...