Cálculo Avanzado - Transferencia de Calor

Introducción
La conducción de calor es una de las tres formas de transmisión de calor. Es la
transferencia de calor a través de un material estacionario, tal como un sólido o un fluido
en reposo o régimen laminar. Este tipo de transmisión no involucra un movimiento relativo
de las partículas del cuerpo y por tanto se lo define como la “difusión de energía debida a
un movimiento molecularaleatorio” debido a un gradiente de temperatura.
Según la geometría del sólido en análisis pueden considerarse como significativas una,
dos o tres de sus dimensiones para el cálculo. Siendo los ejemplos más habituales una
barra, una placa y un prisma respectivamente. En este trabajo en particular se analizará la
conducción estacionaria bidimensional en placas de forma circular.


Conducciónde calor
La conducción de calor esta basada en la ley de Fourier, la cual es de carácter
fenomenológico, es decir, se desarrolla a partir de los fenómenos observados más que
derivarse de los principios básicos.
En el caso más básico, el unidimensional, la ley de Fourier se presenta de la siguiente
manera:
q x = kA

∆T
∆x

Siendo:
•T= Diferencia de temperatura
•x= Longitud de la barraA= Área de la sección transversal
k= Conductividad térmica
Analizando esta expresión en el límite ∆x → 0 :
dT
q x = − kA
dx

Y para el flujo de calor queda:
q "x =

qx
dT
= −k
A
dx

El signo menos se indica porque el calor se transfiere en la dirección de la temperatura
decreciente.
Se observa en la última expresión que el flujo de calor es una cantidad direccional. Enparticular, la dirección de qx” es normal hacia el área A de la sección transversal. O, de
forma más general, la dirección del flujo de calor siempre será normal hacia una superficie
de temperatura constante, denominada superficie isotérmica. Nótese que las superficies
isotérmicas son planos normales a la dirección x.
Si aceptamos que el flujo de calor es una cantidad vectorial, es posible escribir unplanteamiento más general de la ley de Fourier como sigue:

∂T
∂T 
 ∂T
q " = −k∇T = −k i +
j+
k
∂x
∂x 
 ∂x

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Donde ∇ es el operador gradiente tridimensional y T(x,y,z) es el campo escalar de
temperaturas. Está implícito en esta última ecuación que el vector flujo de calor se
encuentra en una dirección perpendicular a las superficies isotérmicas. Una forma
alternativa dela ley de Fourier es, por tanto:
∂T
q "n = − k
∂n
Donde qn” es el flujo de calor en una dirección n, que es normal a una isoterma, como se
muestra en el caso bidimensional de la figura.
La transferencia de calor se sostiene por un gradiente de temperatura a lo largo de n.
Nótese también que el vector de flujo de calor se resuelve en componentes de modo que,
en coordenadas cartesianas, laexpresión general para q” es:

q " = q "x i + q "y j + q "z k

Donde de la ecuación 1 se sigue que:
q "x = − k

∂T
∂x

q "y = −k

∂T
∂y

q "z = − k

∂T
∂z

Cada una de estas expresiones relaciona el flujo de calor
a través de una superficie con el gradiente de
temperatura en una dirección perpendicular a la
superficie. En estas ecuaciones está implícito que el
medio en queocurre la conducción es isótropo, para el cual el valor de la conductividad
térmica es independiente de las direcciones coordenadas.

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Difusión de calor
Uno de los objetivos principales en un análisis de conducción es determinar el campo de
temperatura de un medio que resulta de las condiciones impuestas sobre sus fronteras.
Es decir, se desea conocer la distribución de temperaturas, querepresenta cómo varía la
temperatura con la posición en el medio. Una vez que se conoce esta distribución, el flujo
de calor por conducción en cualquier punto en el medio o en la superficie se calcula a
partir de la ley de Fourier. Para un sólido, el conocimiento de la distribución de
temperaturas sirve para comprobar la integridad estructural mediante la determinación de
los esfuerzos...