Cálculo integral

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TEMA 1: CALCULO INTEGRAL
Curso 2010/2011
ESQUEMA DE CONTENIDOS - Conceptos de primitiva e integral indefinida. - Reglas b´sicas de integraci´n. a o - Integral definida. Propiedades. - Concepto de integral definida en un recinto de integraci´n no acotado. o - La integral doble. OBJETIVOS GENERALES 1. Conocer el concepto de primitiva de una funci´n. o 2. Conocer el concepto de integral indefinida deuna funci´n y los m´todos o e b´sicos de integraci´n. a o 3. Conocer el concepto de la integral definida y saber interpretarlo como un a ´rea. 4. Obtener el valor num´rico de la integral definida y su conexi´n con el e o concepto de integral indefinida. 5. Definir el concepto de integral definida en un intervalo de integraci´n no o acotado. 6. Conocer e interpretar gr´ficamente el concepto de integraldoble. a 7. Obtener el valor num´rico de la integral doble. e 8. Aplicar los conceptos anteriores al campo econ´mico. o

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Integral indefinida. M´todos de integraci´n e o

Definici´n 1 Dada una funci´n f : [a, b] → R , se llama primitiva de f en el o o intervalo [a, b] a toda funci´n continua F que cumpla o F (x) = f (x) ∀x ∈ [a, b] . Si f : [a, b] → R admite una primitiva F en elintervalo [a, b], entonces admite infinitas ya que si F (x) = f (x) tambi´n es F (x) + K = f (x), y todas ellas se e diferencian en una constante. Definici´n 2 La integral indefinida de f (x) es el conjunto de todas las primio tivas F (x) + K, con K ∈ R. Se denota por: f (x)dx = F (x) + K. Propiedades: i) ii) [f (x) ± g(x)] dx = αf (x)dx = α f (x)dx ± g(x)dx.

f (x)dx.

Algunas integrales inmediatas:xn dx = x n+1 + K si n = −1 1 dx = ln(x) + K x
a ax dx = ln(a) + K si a > 0 ex dx = ex + K
x n+1

f (x)n f (x)dx = f (x) n+1 + K f (x) dx = ln(f (x)) + K f (x) af (x) f (x)dx = a ln(a) + K f (x) e f (x)dx = ef (x) + K
f (x)

n+1

M´todo de integraci´n por partes: Se utiliza cuando el integrando (funci´n a e o o integrar) es de la forma f (x)g (x), siendo una de las funciones de tipoexponencial, logar´ ıtmico o trigonom´trico. Llamando u = f (x) y v = g(x), se tiene e que:

udv = uv −

vdu

M´todo de integraci´n por cambio de variable: La integral f (x)dx se resuelve e o sustituyendo parte o todo el integrando por la variable t o por una funci´n de o t. Llamando t = f (x), se tiene que x = f −1 (t) y dx = (f −1 (t)) dt.

f (x)dx =

t(f −1 (t)) dt

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Integraldefinida. Propiedades.

Definici´n 3 Sea f : [a, b] → R continua ∀x ∈ [a, b] y sea F una primitiva de o f . Se llama integral definida de f en el intervalo [a, b] a:
b

f (x)dx = F (b) − F (a).
a

Interpretaci´n geom´trica: Si f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] el valor de la integral definida o e es el ´rea encerrada por la curva y = f (x), el eje de abcisas y las rectas x = a a y x = b. Por convenio seconsidera que: i) ii)
a a

f (x)dx = 0. f (x)dx = −
b a

a b

f (x)dx.

Propiedades de la integral definida:
b b b

i)
a

[f (x) ± g(x)] dx =
a b b

f (x)dx ±
a

g(x)dx.

ii)
a

αf (x)dx =
a b

f (x)dx.

iii)
a

αdx = α(b − a).

iv) Si a < c < b,
b c b

f (x)dx =
a a

f (x)dx +
c

f (x)dx.

v) (Teorema fundamental del c´lculo integral) Sea la funci´n f :[a, b] → R a o continua ∀x ∈ [a, b], consideremos
x

F (x) =
a

f (t)dt.

Entonces F es diferenciable en todo punto del intervalo [a, b], y adem´s se a verifica que: F (x) = f (x).

3

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Integral impropia en un intervalo de integraci´n o no acotado
+∞ x

Definici´n 4 Sea f : [a, +∞) → R una funci´n continua en [a, +∞). Se o o define: f (t)dt = lim
a x x→∞

f (t)dt.
a

Si lim af (t)dt existe y es finito se dice que la integral es convergente. En x→∞ caso contrario, esto es, cuando el l´ ımite no existe o es infinito, se dice que la integral es divergente. Definici´n 5 Sea f : (−∞, b] → R una funci´n continua en (−∞, b]. Se define: o o
b b

f (t)dt = lim
−∞

x→−∞

f (t)dt.
x

Se dice que la integral es convergente si existe el l´ ımite y es finito y que es...
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