cálculo multivariable

CÁLCULO MULTIVARIABLE
UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL ESPACIO.
1. Trazar los puntos cuyas coordenadas son (2,0,-1), (4,-3,7), (-5,-9,2) y (3,-2,4).
2. Escribir los signos de las coordenadas de los puntos situados en cada uno de los
ocho octantes.
3. Construir el triángulo cuyos vértices son (2, -1, 3), (-1, 1, 2) y (1, 5, -2).
4. Construir el tetraedro cuyos vértices son (0, 0, 0,), (2, 0, 0),(0, 2,0) y (0, 0, 2).
5. El punto P(2, 3, 3) es un vértice del paralelepípedo recto rectangular formado
por los planos coordenados y los planos que pasando por P son paralelos a
ellos. Hallar las coordenadas de los otros siete vértices.
6. Hallar el volumen del paralelepípedo recto rectangular del ejercicio 5 y la
longitud de su diagonal.
7. Se ha trazado una recta del origen al punto (1, 2,1). Hallar el ángulo que forma
dicha recta con la parte positiva del eje Y.
8. Establecer una propiedad común de las coordenadas de todos los puntos que
están: a) en el plano XY; b) en el plano XZ; c) en el plano YZ.
9. Establecer propiedades comunes de las coordenadas de todos los puntos que
están: a) sobre el eje X; b) sobre el eje Y; c) sobre el eje Z.
10. ¿Cuál es el lugar geométrico delos puntos cuya coordenada z es igual a ─5?
11. ¿Cuál es el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que su
coordenada x es siempre igual a 4?
12. Se ha formado un paralelepípedo recto rectangular haciendo pasar planos
paralelos a los planos coordenados por cada uno de los puntos P1(1, 2, 2) y
P2(3, 6, 7). Hallar las coordenadas de los otros seis vértices y las longitudes delas aristas.
13. Hallar la longitud de la diagonal P1P2 del paralelepípedo recto rectangular del
ejercicio anterior (12).

DISTANCIA ENTRE PUNTOS.
14. Hallar la distancia entre los puntos P1(─1, ─2, 2) y P2(2, 4, ─1).
15. Demostrar que los puntos P1(─2, 4, ─3), P2(4, ─3, ─2) y P3(─3, ─2, 4) son los
vértices de un triángulo equilátero.
16. Hallar el perímetro del triángulo cuyos vértices sonA(─2. ─3, ─2), B(─3, 1, 4)
y C(2, 3, ─1).
17. Calculando ciertas distancias, demostrar que los tres puntos
(2, 0, ─1), (3, 2, ─2) y (5, 6, ─4) son colineales.
18. Determinar la distancia desde un punto cualquiera P(x, y, z) a cada uno de los
planos y ejes coordenados, y al origen. Ordénense los resultados en una tabla y
obsérvese la simetría en la letras x, y y z.
19. Hallar la distanciadel punto (─2, 6, 3) a cada uno de los planos coordenados y
al origen.
20. Hallar la distancia del punto (3, ─4, 2) a cada uno de los planos coordenados.
21. Demostrar que el cuadrado de la distancia de cualquier punto al origen es igual
a la suma de los cuadrados de sus distancias a los planos coordenados.
22. Los puntos extremos de un segmento son P1(─4, 1, 3) y P2(5, ─2. 1). Hallar laslongitudes de sus proyecciones sobre los ejes coordenados.
23. Hallar las longitudes de las proyecciones del segmento del ejercicio 22 sobre
los planos coordenados.

CÁLCULO MULTIVARIABLE

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NÚMEROS Y COSENOS DIRECTORES.
24. Hallar los cosenos directores de una recta que pasa por los puntos P1(2, 5, ─1),
P2(3, ─2, 4) y que está dirigida de P1 a P2.
25. Hallar los cosenosdirectores de la recta que pasa por los puntos P1(─9, 2, 1),
P2(─7, 0, 2) y que está dirigida de P1 a P2.
26. Dos de los cosenos directores de una recta son 2 3 y  13 . Hallar el tercer
coseno director.
27. Hallar los cosenos directores de una recta si los ángulos directores α y β son
60º y 30º, respectivamente.
28. Hallar los cosenos directores de una recta si α = 45º, γ = 60º y β es agudo.29. Hallar los cosenos directores de una recta si β = 45º y α = γ.
30. Hallar los cosenos directores de una recta que forma ángulos iguales con los
ejes coordenados.
31. Hallar el valor común de los ángulos directores de la recta del ejercicio 30.
(Dos soluciones.)
32. Por medio de los cosenos directores, demostrar que los tres puntos (4, 3, 1),
(─1, 2, ─3) y (─11, 0, ─11) son colineales....