Círculo De Mohr
Capítulo 11
CAPÍTULO 11
CIRCULO DE MOHR
11.1
ESFUERZOS EN EL SUELO ESFUERZOS NORMALES Y TANGENCIALES
Notación:
σ = Sigma = Esfuerzo normal o directo a la superficie.
τ = Tau = Esfuerzo de cizalladura o cortante a la superficie.
σ > 0 = Compresión; σ < 0 = Tracción.
τzx = Cortante en la dirección X, sobre el plano Z (el plano Z
es el plano X – Y).
σz = Esfuerzonormal y en la dirección Z.
Figura 11.1 Esfuerzos en una masa de
suelo
Sobre las caras del cubo existen 9 elementos (fig. 11.1), las
que se pueden escribir así:
σ xx
τ yx
τ zx
τ xy τ xz
σ yy τ yz = σ = Tensor general de esfuerzos en R3
τ zy σ zz
(11.1)
Tomando momentos (esfuerzo, por área, por distancia) para hacer rotar el cubo en torno a un ejecentral
paralelo al eje Z e igualando a 0 (cero), tenemos que τxy y τyx son los dos esfuerzos que pueden hacerlo.
[τ
xy
][
]
* a 2 * a 2 − τ yx * a 2 * a 2 = 0
entonces:
τxy = τyx
(11.2)
Reduciendo el problema a dos dimensiones únicamente, (11.1)
puede escribirse con sólo 3 componentes y no 4, según (11.2).
σ x τ xy
= σ = Tensor de esfuerzos en R2 (11.3)
τ
σy
xy
Figura 11.2 Esfuerzos en un plano
En el plano Z (o X,Y), se dibuja las 4 componentes del esfuerzo.
En este caso σx, σy compresivos. τyx se ha hecho τxy. Entonces, de
las 4 componentes del esfuerzo, tres son independientes: Las de la
ecuación (11.3).
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Capítulo 11
La ecuación (11.3) y la ecuación (11.1) se pueden expresar, para los esfuerzosprincipales, en R2 y R3, así:
0
σ
σ = 1
0 σ2
σ 1 0
σ = 0 σ2
0 0
y
0
0
σ3
(11.4)
Los tensores expresados en (11.4) suponen una rotación del sistema, hasta que los cortantes se hagan nulos
(τi j = 0), según lo visto en la Sección 10.6.
11.2 ESFUERZOS EN UN PLANO.
El problema es que, conocido el tensor en R2,
calcular σθ y τθ, siendo θ el ángulo delplano con el
eje Y (o del esfuerzo normal al plano, con el eje X).
NOTA: La matriz de cosenos directores en R2 es la
del coseno del ángulo de (σθ, τθ) con (X, Y):
(
θ
cos90° −θ )
cosx' x cosx' y cos
Tθ =
= cos90° +θ )
cos
θ
cosy' x cosy' y (
cosθ
Tθ =
− sen θ
Figura 11.3 Esfuerzos en un plano.
sen θ
cosθ
(11.5)
Para (11.9)
Considerando elequilibrio estático, la ΣF = 0 ∴
AB PX = OB σX + OA τXY ; AB PY = OA σX + OB τXY
OA = AB senθ
Pero
(11.6)
OB = AB cosθ
(11.7)
Llevo (11.7) a (11.6) y cancelo AB
PX = TX cosθ + τXY senθ
PY = σY cosθ + τXY senθ
Pero a) σn = PX cosθ + PY senθ
(11.8)
b) τn = PY cosθ - PX senθ
(11.9)
(11.8) en (11.9) ∴ tendiendo en cuenta (11.2) y aplicando la identidad de las fórmulas11.17:
σθ = σX cos2θ + 2τxy senθ cosθ + σY sen2θ que se transforma
σθ =
(σ
x
+σ y )
2
+
(σ
x
−σ y )
2
cos 2θ + τ xy sen 2θ
τθ = τxy (cos2θ - sen2θ) – (σx – σy)senθ cosθ
130
(11.10)
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Capítulo 11
τ θ = τ xy cos 2θ −
además,
tg 2θ =
(σ
−σ y )
x
2
sen 2θ
(11.11)
− 2τ xy
(σ
x
−σ y )
(11.12)
Porconvención, los esfuerzos principales son σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. En R2 σ1 ≥ σ2.
σ1 =
1
2
(σ x + σ y ) + 1 (σ x − σ y )2 + 4τ xy
2
2
[
]
σ2 =
1
2
(σ x + σ y ) − 1 (σ x − σ y )2 + 4τ xy
2
2
[
]
1
2
1
(11.13)
2
(11.14)
A veces es conveniente el análisis de los ejes X e Y en la dirección de σ1, σ2, entonces de (10) y (11), cuando
τxy = 0:
σθ =
1
(σ 1 +σ 2 ) + 1 (σ 1 − σ 2 ) cos 2θ
2
2
τθ = −
(11.15)
1
(σ 1 − σ 2 ) sen 2θ
2
(11.16)
(11.10) – (11.11) –(11. 13) – (11.14) – (11.15) y (11.16) se denominan “ECUACIONES PARAMÉTRICAS”
Cos2θ = cos2θ - sen2θ
IDENTIDAD
cos 2 θ =
1
sen2θ = 2senθ cosθ
2 (1 + cos 2θ )
sen 2 θ =
1
2
(1 − cos 2θ )
(11.17)
11.2.1 El plano de máximo esfuerzo de cizalladura:...
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