calculo 2

UNIDAD I

1.1 La diferencial.
Definiciones de ⌠ Δx y f’(x) Δx.




Podriamos definirla como una variable continua que presenta su posibilidad de cambio como cualidad esencial. OBSERVANDO EN PARTICULAR que si en una situación se tiene una variable independiente x, se define al diferencial como aquella cantidad diferente de cero que satisface la cualidad:
;
Hasta este punto, ladefinición del diferencial de una variable independiente no presenta ninguna cualidad diferente respecto a los incrementos que hagan necesaria y útil su definición; sin embargo, su IMPORTANCIA Y UTILIDAD se presenta cuando analizamos lo que ocurre como parte de una función.
Una función (cualquiera) en un punto x0 dado se puede “aproximar linealmente” y esta aproximación es válida en puntos muy cercanos alx deseado, siempre que la función se aproxime mediante su recta tangente en el punto, como se muestra en la siguiente figura la cual nos sirve para ejemplificar el punto siguiente solicitado:
 Interpretación gráfica de dy.


Fig. 1: Aproximación lineal de una función en un punto
 
De la figura 1 se puede observar que la ecuación de la recta tangente que aproxima a la función dada en el puntox0 resulta ser:
y – y0 = f ´(x0) (x – x0)
Pero la “aproximación lineal” es válida para valores de x muy cercanos a x0, ya que conforme x se aleja de x0, el error de la aproximación crece cada vez más ya que representa la separación entre la curva de f(x) y la recta tangente, luego la diferencia Δx = (x – x0)→0, es decir, en el límite resulta ser dx de acuerdo a nuestra definición previa, perode la misma forma se puede observar que Δy = y – y0 por lo que sustituyendo en la ecuación de la recta tangente resulta:
dy = f´(x0) dx
Dicha cantidad dy = f´(x0) dx se denomina “diferencial de la función” en el punto x0 y su significado se puede observar en la figura 2. Es importante señalar que en la notación diferencial de Leibniz para la derivada podemos simplemente despejar dy paraencontrar a partir de dy/dx = f´(x) la misma expresión.
 

Fig. 2: Diferenciales e incrementos.
 
Se debe de tener presente que dy, es una condición límite cuando x→x0 y resulta idéntico a Δy cuando se evalúa dicho límite, en la figura esta igualdad es observable cuando realizas la operación Δx→0.

Reglas de la diferenciación.

En la práctica, uno se encuentra en pocas ocasiones con la tarea dediferenciar solo alguna de las funciones básicas, lo mas común es tener que diferenciar expresiones más o menos complicadas compuestas de distintas funciones, por ejemplocon constantes reales , , , y .
Asi pues, resumiremos las reglas que nos permiten construir cocientes diferenciales de expresiones complicadas a partir de derivadas conocidas de componentes individuales. Como ejemplos aplicadosconsideramos primero las funciones de nuestro conjunto básico y luego, a partir de ellas, otras funciones interesantes e importantes para la ciencia.
A continuación denotamos por y a dos funciones diferenciables y , , , ... constantes reales.
Debido a la obvia homogeneidad (un factor constante puede salir de la operación de límite) del límite , comenzamos con la conocida regla de suma y deinmediato con la regla conocida como
REGLA DE LINEALIDAD:


Esto es, el cociente direrencial de una combinación lineal de funciones es igual a la combinación lineal de los cocientes diferenciales.
Otra regla conocida y comúnmente usada seria:
REGLA DEL PRODUCTO:

Que enuncia; El cociente diferencial del producto de dos funciones diferenciables y es el cociente diferencial del primer factorpor el segundo factor, más el cociente diferencial del segundo factor por el primer factor:

Tambien podemos enunciar la conocida
REGLA DEL INVERSO:

para que dice:



El cociente diferencial del inverso de una función diferenciable que no se anula se obtiene dividiendo el cociente diferencial de la función por el negativo del cuadrado de la función:
Y por ultimo una de las que también...