CALCULO 2

DuocUC
Programa de Matemática

MAT 430
Cálculo II

GUÍA RESUMEN PRUEBA N°3
1.

Determine las derivadas parciales de primer orden respecto de x e y , en las
siguientes funciones:
a)

f ( x, y ) = x 3 − 3 y 2 − 2 x 2 y + x + 5 y − 3

(

c) g ( x, y ) = ln x + y
e) z = xy e

2. Determine

2

2

b)

)

z = 9 − x2 − y2

d) h ( x, y ) =

xy
x + y2
2

x2 − y

∂2 f∂2 f
∂2 f
∂2 f
∂2 f
∂2 f
,
,
,
y compruebe que
en las siguientes
=
∂x∂y ∂y∂x
∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y ∂y∂x

funciones:
a)

f ( x, y ) = x 3 + 3 x 2 y

b)

f ( x, y ) = xe y + y e x

3. Determine

∂2 f
∂f
∂f
−1, 2 ) ,
−1, 2 ) y
(
(
( −1, 2 ) en las siguientes funciones:
∂x
∂y
∂x∂y

a)

f ( x, y ) = x 3 y 2 − 3 x 2 + y − 1

b)

f ( x, y ) = ln ( x 2 + y 2 )

c)f ( x, y ) =

x+ y
xy − 1

4. Determine los puntos críticos de las siguientes funciones y clasifíquelos en máximo,
mínimo o punto silla.
a)

f ( x, y ) = 8 x 3 + y 3 − 6 xy

b)

f ( x, y ) =

x
+ 3x 2 y + 2 x − 1
y

5. Determine el máximo de la función f ( x, y ) = x − y + 6 xy − 3 , sujeta a la restricción
2

2

y + 2 x = 1.
6.

Determine el mínimo de la función

f (x, y ) = 9 − x 2 − y 2 , sujeta a la restricción

y = 1 − x2 .
1

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7. Si se gastan x miles de dólares en mano de obra e y miles de dólares en equipo, la
producción de cierta fábrica será P ( x, y ) = 60 x

1

3

y

2

3

unidades. Si hay US$ 60.000

disponibles. ¿Cómo debe distribuirse el dinero, entre mano de obra yequipo, para
generar la mayor producción posible?
8. Evalúe las siguientes integrales:
a)

y − 2 x ) dxdy

b)

c)

9.

∫ ∫ (x

∫ 1 ∫ 1−3 x ( 3 − 2 xy ) dydx

d)

3

1

2

Calcule:

1

−3

2

2x

∫∫ ( 3x

2

2

1

4

∫ ∫
1

3

2

0

y
y2

y
dxdy
x

− y 3 ) dA , donde R es la región rectangular cuyos vértices son:

R

( −2, −1) ; ( 3, −1); ( −2,3 )
10. Determine

∫ ∫ ( 5 − 2 xy + 3 y ) dydx

y

( 3,3 ) .

∫∫ f ( x, y ) dA donde R = {( x, y )

/ 0 ≤ x ≤ 2 ∧ 1 ≤ y ≤ 4} y f ( x, y ) = xe y .

R

11. Calcule el área de la región limitada por la recta

y = x y la parábola x = y 2 − y .

z = x 2 + y 2 y encima de
2
la región R del plano xy acotado por la recta y = 2 x y la parábola y = x .

12. Determine elvolumen del sólido que está bajo el paraboloide

2

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DESARROLLO GUÍA RESUMEN
Prueba N°3
1.

Determine las derivadas parciales de primer orden respecto de x e
siguientes funciones:
a)

f ( x, y ) = x 3 − 3 y 2 − 2 x 2 y + x + 5 y − 3

b)

z = 9 − x2 − y2

c)

g ( x, y ) = ln ( x 2 + y 2 )

d)

h ( x, y ) =

e) z = xy exy
x + y2
2

x2 − y

SOLUCIÓN:
a) Tenemos que:

f ( x, y ) = x 3 − 3 y 2 − 2 x 2 y + x + 5 y − 3

Luego:

∂f
= 3x 2 − 2 ⋅ 2 xy + 1 ⇒
∂x

∂f
= 3x 2 − 4 xy + 1
∂x

∂f
= −3 ⋅ 2 y 2 − 2 x 2 ⋅1 + 5 ⋅1 ⇒
∂y

∂f
= −6 y − 2 x 2 + 5
∂y

b) Tenemos que:

z=

9 − x2 − y 2 ⇒ z = (9 − x2 − y 2 )

1

2

Luego:
1
−1
∂z 1
−x
2
2
2
= (9 − x − y ) ⋅ − 2 x =
1
∂x 2(9 − x2 − y 2 ) 2
1
1
−1
∂z 1
−y
2
2
2
= (9 − x − y ) ⋅ − 2 y =
1
∂y 2
(9 − x2 − y 2 ) 2
1

c) Tenemos que:

g ( x, y ) = ln ( x 2 + y 2 )

Luego:

∂g
1
= 2
⋅ 2x
∂x x + y 2

⇒

∂g
2x
= 2
∂x x + y 2

∂g
1
= 2
⋅ 2x
∂y x + y 2

⇒

∂g
2y
= 2
∂y x + y 2

d) Tenemos que:

h ( x, y ) =

xy
x + y2
2

3

⇒

∂z
−x
=
∂x
9 − x2 − y2

⇒

∂z
−y=
∂x
9 − x2 − y 2

y , en las

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Luego:

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2
2
∂h y ⋅ ( x + y ) − xy ⋅ 2 x x 2 y + y 3 − 2 x 2 y
y3 − x2 y
=
=
=
2
2
2
∂x
( x2 + y 2 )
( x2 + y2 )
( x2 + y2 )

2
2
∂h x ⋅ ( x + y ) − xy ⋅ 2 y x 3 + xy 2 − 2 xy 2
x 3 − xy 2
=
=
=
2
2
2
∂y
( x2 + y 2 )
( x2 + y2 )
( x2 + y 2 )

⇒

⇒

2
2
∂h y ( y − x...