Calculo 2

CURSO: CÁLCULO II Tema : Volúmenes de Revolución: Métodos de las Capas o Casquetes Cilíndricos

El método de los casquetes cilíndricos, proporciona una forma alternativa de calcular volúmenes de sólidos de revolución. En ciertos casos es el único método viable porque el de las arandelas (anillos) puede resultar a veces difícil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto. Piense por ejemplo enel problema de hallar el volumen del solido de revolución que se genera al hacer girar sobre el eje Y la región que está comprendida, en el primer cuadrante, entre la curva y
x 3.

x

3

4x 3x 1 y la recta vertical

A primera vista puede parecer que el método más adecuado para este cálculo consiste en hacer repetidas secciones trasversales horizontales del sólido- tajarlo por decirlo así-y en integrar luego los volúmenes de todos los trazos. Sin embargo, se presentan varias dificultades. La primera está en que las secciones transversales son, en unas zonas del sólido, discos completos y, en otras, arandelas (anillos), es decir discos con hueco. Esto conduce a tener que dividir la región de integración en varias subregiones, lo que resulta engorroso. Pero por otra parte, paraplantear la integral es necesario expresar tanto el radio de los discos con el radio interior (radio menor) y exterior (radio mayor) de las arandelas en función de la variable y, lo que no es fácil de lograr en este caso (Véase la figura a la derecha).

Facultad de Ingeniería

Semestre 2012-II

En cambio, el método de los casquetes cilíndricos funciona muy bien en esta situación. Básicamenteconsiste en dividir el sólido de revolución en una serie de casquetes cilíndricos que se incrustan unos dentro de otros y en integrar luego los volúmenes de estos casquetes para obtener el volumen total. En la Figura mostrada a la derecha se puede ver cómo se van agregando y se van retirando sucesivamente estos elementos y cómo se produce el sólido de revolución. Es por eso por lo que a este métodose le conoce también como el método de las “capas”, las “envolturas”, las “envolventes” o los “cascarones” cilíndricos. Pero antes de entrar en detalles es importante entender bien la estructura geométrica que está involucrada en este método. Quizás resulte útil pensar en objetos cotidianos que presentan la misma configuración. El primero que viene a la mente es posiblemente un trozo de cebollapues es bien conocido el hecho de que en su interior los tejidos de un trozo de este vegetal están dispuestos en una serie de capas más o menos cilíndricas que, cuando se cortan transversalmente y se sirven en las ensaladas, forman los característicos "anillos" de la cebolla (Véase la figura a la derecha). También puede resultar útil pensar en la estructura interna de un tronco de árbol pues éstaconsiste en una serie de casquetes, hechos de distintas clases de madera, aproximadamente cilíndricos, que en los cortes transversales se ven como una serie de anillos de diferente color (Figura 4). Según los biólogos, al contar estos anillos se puede establecer la edad de los árboles pues sus troncos no crecen a lo alto, excepto en su parte superior, sino a lo ancho. La única parte de los troncosencargada del crecimiento es una fina capa que los rodea, llamada cámbium. En los árboles de las zonas de clima
Facultad de Ingeniería Semestre 2012-II

templado, el crecimiento no es constante y como la madera que produce el cámbium en primavera y en verano es más porosa y de un color más claro que la producida en invierno, de ello resulta que el tronco del árbol está compuesto por un par deanillos concéntricos nuevos cada año, uno más claro que el otro.

PLANTEAMIENTO GENERAL: MÉTODO DE LOS CASQUETES CILÍNDRICOS
Para comenzar a entender en detalle el método de los casquetes cilíndricos debemos establecer cómo calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura h cuyo radio interior es r1 y cuyo radio exterior es r2 como el que aparece en la Figura. Naturalmente procedemos...