Calculo de incertidumbre

FÍSICA EXPERIMENTAL I TRABAJO PRACTICO DE LABORATORIO Nº 2 Péndulo
Objetivo Específico: Determinación de la aceleración de la gravedad local con una incertidumbre porcentual del orden de 0,1%. Objetivo General: - Familiarizarse con la medición de tiempos. - Tratamiento de incertidumbres Tipo A. - Propagación de incertidumbres. - Construcción de histogramas Introducción: Consideremos el pénduloque se muestra en la Fig. 1, formado por un cilindro de masa mC, radio r y longitud Lc, suspendido de un hilo inextensible de radio despreciable, masa mH y longitud LH. El hilo esta sostenido por un prisma rectangular de masa mP, de lados a y b que pivotea alrededor de dos puntos de apoyo, como se muestra en la Fig. 1. a b

LH L=LH+LC/2

θ0

Figura 1. Esquema del péndulo a utilizar para medirla aceleración de la gravedad local. Las cantidades están definidas en el texto. (a): Vista de frente. (b): Vista lateral.

Llamemos I al momento de inercia de un péndulo respecto a su eje de rotación, M a su masa total, d a la distancia entre el punto de suspensión y el centro de masa del péndulo y g a la aceleración de la gravedad local. Si θ0 es la amplitud angular de oscilación, el períodode oscilación del péndulo, despreciando efectos de fricción, se describe por la expresión:
T = 2π I Mgd  k 2 9 k 4 25 k 6  1 + 2 + + + ..........  2 2  2  44 4 8   k = sen

θ0
2

En el límite de pequeñas amplitudes de oscilación (θ0 « 1) el período se puede aproximar de la siguiente manera:

T = 2π

I Mgd

 θ o2  1 +  16    

Para el péndulo de la Fig. 1, escribiendoadecuadamente I, M y d en términos de las cantidades a medir directamente (masas y distancias), se llega a la siguiente expresión:

2 2  L m L2 m 2 1 + 1 C2 + 1 mC r 2 + 1 H H + 5 P a 2  4 L 3 mC L2 12 mC L  L  12 L   T = 2π g  1 m H LH 1 m P a  1 +  2 m L + 2 m L  C C  

 θ 02  1 +  16    

Esta expresión se puede utilizar para medir g en término de las restantescantidades, conservando solo términos cuadráticos de θ0:
2 2  L m L2 m 2 1 + 1 C + 1 r + 1 H H + 5 P a   12 L2 4 L2 3 mC L2 12 mC L2   θ 02   1 +  8  1 m H LH 1 m P a   1 +  +  2 m L 2 m L C C  

g = 4π 2

L T2

   

(1)

Si asumimos que mH « mC , mp « mC , LC « L, r « L, a « L y b « L y recordando que L=LH+LC/2, obtenemos para g en un desarrollo hasta segundoorden:
2 2   θ 2 m L m m2 m L 1 + 1 C + 1 r − 1 H + 1 H − 1 H C − 1 p a 1 + 0 2  12 L 2 4 L 2 6 m 12 mC 12 mC L H 2 mC L H  8 C H H  

g ≈ 4π 2

L T2

   

Conservando solo términos de primer orden la expresión anterior se reduce a:  θ 02 1 +  8    (2)  

g ≈ 4π 2

L T2

 1 mH 1 −  6m C 

A modo de ejemplo se ha graficado, en la Fig. 2, la diferenciarelativa entre la ecuación (1) y la ecuación (2) en función de la longitud del hilo, para un péndulo compuesto por: un cilindro de 700 g de masa, 5 cm de largo y 4 cm de diámetro, un hilo con densidad lineal λH=1 g/m y un prisma rectangular de lados a = 1 cm, b =5 cm y 67 g de masa.

5.0x10

-5

0.0 Diferencia relativa

-5.0x10

-5

-1.0x10

-4

-1.5x10

-4

-2.0x10

-4

0.81.2

1.6 LH [m]

2.0

2.4

2.8

Figura 2. Diferencia relativa entre la ecuación (1) y la ecuación (2) en función del largo del hilo.

Despreciando el término de primer orden (mH/6mC) y el de segundo orden en la amplitud en la ecuación (2), esta se reduce a la correspondiente a un péndulo simple:

g = 4π 2

L T2

(3)

A partir de las expresiones (1), (2) o (3) (o de algunaotra expresión apropiada) se puede determinar, con distinto grado de aproximación, la aceleración de la gravedad g midiendo las distintas cantidades que intervienen en ellas.
Procedimiento: Parte I: Medición preliminar de g. A modo de entrenamiento mida T y L en no más de 5 minutos y determine el valor de g, con su incertidumbre, haciendo uso de la ecuación (3). Parte II: Introducción al...