Calculo de integrales

Cálculo.
Sucesiones:
Definición: Sucesión de números reales, es una función que va de los números naturales a los reales. Es decir a cada número natural �� se le asocia un número real �� �� .
��: ℕ → ℝ

Notación: La sucesión formada por los números ��1 , ��2 , … , ����−1 , ���� … se puede representar como: 1) 2) 3) ��1 , ��2 , … , ����−1 , ���� , ����+1 ���� ��∈ℕ ���� ��

Si una sucesiónes creciente o decreciente, la llamamos monótona. Análogamente si una sucesión es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
i) ii) iii) Decimos que ���� �� monótona creciente si: ���� < ����+1 ∀�� Decimos que ���� �� monótona decreciente si: ���� > ����+1 ∀�� Si las sucesiones son estrictas decimos que son estrictamente creciente o estrictamente decreciente según corresponda.Convergencia y divergencia: Cuando una sucesión posee un límite finito L, se dice que es convergente a L. En cambio si no tiene límite se dice que es divergente. Teoremas más importantes:
- Toda sucesión monótona y acotada es convergente. - Si el límite de una sucesión existe, entonces él es único. - Si una sucesión converge a un límite L, entonces todas sus sub-sucesiones convergen a él. - Todasucesión convergente es acotada, no así su reciproco. - Toda sucesión acotada posee una sub-sucesión convergente. - Si una sucesión está comprendida entre otras dos que tienen igual límite, entonces tiene el mismo límite: Sean ���� �� , ���� Si lim��→∞ ����
�� , ��

���� �� suceciones en R, y para �� suficientemente grande ���� ≤ ���� ≤ ���� = lim��→∞ ���� �� = ��, entonces ���� �� converge a Lylim��→∞ ���� �� = ��.

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Primer semestre 2010

Antiderivadas:
Definición: La antiderivada o primitiva de �� es cualquier función �� tal que esta última derivada sea igual a ��. En general como sabemos que la derivada de una constante es cero podemos expresar la antiderivada de �� como:
�� �� = ��´ �� + ��′

Propiedades: �� �� �� ���� = ���� �� ���� �� �� ���� ± �� =������������������. �� �� ����

��(��) ± ��(��) ���� = Tabla de antiderivadas: ������ = ���� + ��

�� �� ���� =

�� ��+1 + �� �� + 1

�� �� ���� = �� �� + ��

1 ���� = ln |��| + �� ��

sin �� ���� = − cos �� + ��

cos �� ���� = sin �� + ��

1 1 ���� = − + �� 2 �� ��

�� �� ���� =

�� �� + �� ln |��|

1 ���� = tan �� + �� ������ 2 �� 1 ���� = ������������ �� + �� 1 + �� 2 1 1 − �� 2

−

1 ���� = cot �� + �� ������2 �� 1���� = arccot �� + �� 1 + �� 2 −1

−

���� = arcsin �� + ��

1 − �� 2

���� = arccos �� + ��

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Integral de Riemann:
Una partición de un intervalo ��, �� es un conjunto finito de puntos �� = ��0 , ��1 , ��2 , … , ���� con �� = ��0 < ��1 < ��2 �� �� ∀ �� ∈ ��, �� entonces el área entre curvas es:
��

Á������ =
��

|�� �� − �� �� |����www.SoySansano.com

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Es importante conocer los puntos en donde las funciones se intersectan, con el propósito de saber que curva esta sobre la otra. Ejemplo: Calcular el área entre las curvas ��(��) = �� 2 y ��(��) = 2�� − �� 3 . Desarrollo: Igualamos las curvas para obtener los puntos donde se intersectan. �� 2 = 2�� − �� 3 �� 3 + �� 2 − 2�� = 0 �� �� 2 + �� − 2 = 0 ��1 =0, ��2 = −2, ��3 = 1 Analizando los resultados vemos que se forman 2 áreas entre curvas, en los intervalos −2,0 , [0, −1] ahora procedemos a evaluar las funciones entre estos intervalos para conocer cual es mayor. Entre −2,0 �� = −1 �� −1 = 1 �� −1 = −1 �� �� ≥ �� �� El área total está dada por:
0 1

Entre [0,1] �� = 0,5 �� 0,5 = 0,25 �� 0,5 = 0,875 �� �� ≥ ��(��)

�� =
−2

(�� �� −��(��))���� +
0

(�� �� − ��(��))����

Integración por partes:
�� ∙ ���� = �� ∙ �� −
Ejemplo:

�� ∙ ����

ln �� ����
Desarrollo: Seleccionamos �� �� ���� y determinamos ���� �� ��

�� = ln �� ,

���� =

1 ����, ��

�� = �� ,

���� = ����

www.SoySansano.com Reemplazamos en la fórmula y obtenemos:

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ln ��...