Calculo de la gravedad

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Experimento de Cavendish

El experimento de Cavendish o de la balanza de torsión constituyó la primera medida de la fuerza de gravedad entre dos masas y, por ende, a partir de la Ley de gravitación universal de Newton y las características orbitales de los cuerpos del Sistema Solar, la primera determinación de la masa de los planetas y del Sol.
Una versión inicial del experimento fue propuestapor John Michell, quien llegó a construir una balanza de torsión para estimar el valor de la constante de gravedad. Sin embargo, murió en 1783 sin poder completar su experimento y el instrumento que había construido fue heredado por Francis John Hyde Wollaston, quien se lo entregó a Henry Cavendish.
Cavendish se interesó por la idea de Michell y reconstruyó el aparato, realizando variosexperimentos muy cuidadosos con el fin de determinar la densidad media de la Tierra. Sus informes aparecieron publicados en 1798 en la Philosophical Transactions de la Royal Society. A principios del siglo XIX se pudo obtener, por primera vez, el valor de la constante de gravitación universal G a partir de su trabajo, el cual (6.74·10-11) difería del actual (6.67·10-11) en menos de un 1%.[1]Descripción general

El instrumento construido por Cavendish consistía en una balanza de torsión con una vara horizontal de seis pies de longitud en cuyos extremos se encontraban dos esferas metálicas. Esta vara colgaba suspendida de un largo hilo. Cerca de las esferas Cavendish dispuso dos esferas de plomo de unos 175 kg cuya acción gravitatoria debía atraer las masas de la balanza produciendo un pequeñogiro sobre esta. Para impedir perturbaciones causadas por corrientes de aire, Cavendish emplazó su balanza en una habitación a prueba de viento y midió la pequeña torsión de la balanza utilizando un telescopio.
En la época de Cavendish, G no tenía la importancia entre los científicos que tiene actualmente. Esta constante era simplemente una constante de proporcionalidad en la ley de lagravitación universal de Newton.[12] En vez de eso, el propósito de medir la fuerza de gravedad era determinar la densidad terrestre. Esta cantidad era requerida en la astronomía del siglo XVIII, dado que, una vez conocida, las densidades de la Luna, el Sol y el resto de los planetas se podrían encontrar a partir de ella.[13]
Una complicación adicional fue que a mediados del siglo XIX, los físicos noutilizaban una unidad específica para la fuerza.[8] Este hecho vinculó innecesariamente G a la masa de la Tierra, en vez de reconocer a G como una constante universal. Sin embargo, aunque Cavendish no reportó un valor para G, los resultados de su experimento permitieron determinarlo. A finales del siglo XIX los científicos comenzaron a reconocer a G como una constante física fundamental, calculándola apartir de los resultados de Cavendish. Por lo tanto:[14]

[pic]
Después de convertir a unidades del Sistema Internacional, el valor de Cavendish para la densidad de la Tierra, 5,45 g cm−3, da G = 6,74 × 10−11 m3 kg−1 s−2, lo cual se encuentra dentro de un 1% del valor actualmente aceptado.

Formulación matemática

El objetivo del experimento es medir el giro en la balanza de torsiónproducido por la fuerza de gravedad ejercida entre las esferas externas y las masas dispuestas en los extremos. La fuerza de recuperación en la balanza puede escribirse en función del ángulo girado sobre la posición de equilibrio, θ
[pic].
El ángulo θ puede ser medido mediante un espejo situado en la fibra de torsión. Si M representa la masa de las esferas exteriores y m la masa de lasesferas en la balanza de torsión, se puede igualar la fuerza de torsión con la fuerza de la gravedad ejercida por las esferas mediante la fórmula:
[pic],
donde G es la constante de gravitación universal, L la distancia entre el hilo de torsión y las esferas m y r la distancia entre los centros de las esferas M y m. Por lo tanto,
[pic].
Dado que k puede medirse a partir del periodo...
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