Calculo De Una Variable

Aplicaciones de la derivada

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS
APLICACIONES DE LA DERIVADA
A través del uso del concepto de derivada se logra conocer algunas propiedades relevantes de las
funciones. El estudio de estas características facilita la representación gráfica y la interpretación analítica
de las mismas,lo que posibilita su mejor entendimiento. El objetivo de este capítulo es obtener
información de las funciones a partir de su derivada y conocer más acerca de su comportamiento.

RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL DE UNA CURVA
Si una función y = f ( x ) posee una derivada en el punto x1 , la curva tiene una tangente en P ( x1 , y1 )
cuya pendiente es:

m1 = tan θ =

dy
dx

= f ' ( x1 ) .
x= x1

Se sabe que la ecuación de la recta que pasa por un punto y con una pendiente dada es:
y − y1 = m( x − x1 ) . Por lo tanto, si se sustituye la pendiente por la derivada, la ecuación de la recta
tangente en un punto de una curva es:

y − y1 =
Si

m=0

dy
dx

(x − x1 )
x = x1

tiene tangente horizontal a la curva. Si m = ∞ tiene tangente vertical a la curva.
y

y = f(x)Recta
Normal
Recta
Tangente
P (x1,y1)
90°

x

Una recta normal a una curva en uno de sus puntos es la recta que pasando por dicho punto es
perpendicular a la recta tangente en él.
La condición de perpendicular entre dos rectas es:

m1 ⋅ m2 = −1 ⇒ m2 = −

1

1
1
=−
dy
m1
dx x= x1

Aplicaciones de la derivada

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. JoséManuel Becerra Espinosa

La ecuación de la recta normal en el punto P ( x1 , y1 ) es:

y − y1 = −

1
m1

(x − x1 )
x = x1

Ejemplos.
Hallar las ecuaciones de las recta tangente y normal de las siguientes curvas en el punto indicado.
1) y = 3 x
Solución:

2

P(2, 6)

− 5x + 4

dy
= 6 x − 5 x=2 = 6(2) − 5 = 12 − 5 = 7
dx
y − 6 = 7( x − 2 ) ⇒ y − 6 = 7 x − 14 ⇒ 7 x − y − 8= 0 (recta tangente).
1
1
m2 = −
=−
m1
7
1
y − 6 = − ( x − 2) ⇒ 7( y − 6) = −( x − 2) ⇒ 7 y − 42 = − x + 2
7
⇒ x + 7 y − 44 = 0 (recta normal).
m1 =

2) y = 9 x
Solución:

3

P(− 1, − 2)

− 12 x − 5

dy
2
= 27 x 2 − 12
= 27(− 1) − 12 = 27 − 12 = 15
x = −1
dx
y − (− 2 ) = 15( x − (− 1)) ⇒ y + 2 = 15( x + 1) ⇒ y + 2 = 15 x + 15
⇒ 15x − y + 13 = 0 (recta tangente).
1
1m2 = −
=−
15
m1
1
y − (− 2) = − ( x − (− 1)) ⇒ 15( y + 2) = −( x + 1) ⇒ 15 y + 30 = − x − 1
15
⇒ x + 15 y + 31 = 0 (recta normal).
m1 =

3)

y=

1
x

 1
P 2, 
 2

Solución:

m1 =

dy
1
=− 2
dx
x

=−
x =2

1
1
=−
2
2
4

1
1
1

y − = − ( x − 2) ⇒ 4 y −  = −( x − 2) ⇒ 4 y − 2 = − x + 2 ⇒
2
4
2

(recta tangente).

m2 = −

1
1
=−
=41
m1
−
4
2

x + 4y − 4 = 0

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Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

1
1
= 4( x − 2) ⇒ y − = 4 x − 8 ⇒ 2 y − 1 = 8 x − 16
2
2
⇒ 8x − 2 y −15 = 0 (recta normal).
y−

4) − x y + 6 x −
Solución:
2

P(0, 3)

y 2 x 2 + 4 y − 12 = 0

∂f
2
2
2(0)(3) − 6 + 2(0)(3)
6
3
dy
∂x = 2 xy − 6 + 2 xym1 =
=
=
=− =−
2
2
2
2
∂f
4
2
dx
− x − 2x y + 4
− (0) − 2(0) (3) + 4
∂y
(0 , 3 )
−

3
(x − 0) ⇒ 2( y − 3) = −3x ⇒ 2 y − 6 = −3x
2
⇒ 3x + 2 y − 6 = 0 (recta tangente).
42
1
1
m2 = − = −
==
663
m1
−
4
2
y − 3 = ( x − 0) ⇒ 3( y − 3) = 2 x ⇒ 3 y − 9 = 2 x ⇒ 2 x − 3 y + 9 = 0 (recta normal).
3
y −3 = −

5) y = −7 x
Solución:

4

P(1, 9)

+ 12 x 2 + 4 x

dy3
= − 28x 3 + 24 x + 4 = −28(1) + 24(1) + 4 = −28 + 24 + 4 = 0
x =1
dx
y − 9 = 0( x − 1) ⇒ y − 9 = 0 ⇒ y = 9 (recta tangente).
1
1
m2 = −
=−
(pendiente de 90° o sea, es infinita)
,
m1
0
1
y − 9 = − ( x − 1) ⇒ 0( y − 9) = −( x − 1) ⇒ 0 = − x + 1 ⇒ x = 1 (recta normal).
0
m1 =

Gráficamente, esto es:
y

Recta
Normal

10

Recta
Tangente

y=9
8

6

4

f(x) = -7x4...