calculo de variaciones

OPTIMIZACION DINAMICA
DIMAS SORIA NANCY GUDALUPE
2EM6
TAREA No. 5
CALCULO DE VARIACIONES

B) BOLA MATEMATICA
Una bola, en topología y otras ramas de matemática, es el conjunto de puntos que distan de otro igual o menos que una distancia dada, llamada radio. Es un concepto fundamental en el Análisis Matemático. Se distinguen dos tipos: las abiertas y las cerradas.
BOLA ABIERTA
Una bolaabierta, en topología, es el conjunto de puntos que distan de otro punto (el centro), una distancia menor a la determinada (el radio). Equivale al conjunto de puntos contenidos dentro de una superficie esférica, excluida dicha superficie.
Definición y notaciones
Sea  un espacio seudométrico (por lo general se toma un espacio métrico, pero basta con que  sea pseudodistancia). Sea un número real .Sea. Se define la bola abierta de centro  y radio  (o simplemente bola de centro  y radio) como el conjunto.
Este conjunto tiene distintas maneras de denotarse. La usual y universal es. A veces, si
En el espacio existen distintas (pseudo-)distancias definidas, se hace hincapié en qué (pseudo)-distancia se está usando para definir el conjunto, utilizando esta notación: En algunos textos sedenota sin embargo por.
En Análisis Funcional, cuando se trabaja con espacios normados se prefiere la notación  para denotar la bola abierta. Así, denota a la bola de centro  y radio. La notación  se reserva para las bolas cerradas (con el peligro de confusión que eso genera).
Cuando hablamos de espacios euclídeos, la bola es "redonda", en el sentido intuitivo del término, por lo que la bola decentro  y radio  coincide en esos casos con los puntos encerrados en el interior de una superficie esférica. En el caso particular del plano, la figura entonces obtenida (es decir, el conjunto) es el disco (abierto) de centro  y radio, razón por la cual se denota por. Nótese que esta situación se da en particular en Variable Compleja, siendo entonces la notación  (donde  representa el módulo de).Aunque no es estándar, sí es usual encontrar textos en los que  denota al disco de radio unidad centrado en el origen, i.e., .



Propiedades
Toda bola abierta es un conjunto abierto.
El conjunto de todas las bolas abiertas de un espacio pseudométrico () forman una base de la topología asociada a la pseudodistancia. Si consideramos un punto cualquiera del espacio y lo fijamos (por ejemplo, elpunto ), el conjunto de bolas abiertas centradas en  () forman una base de entornos de . En concreto es una base de entornos abiertos, conexos, conexos por caminos y simplemente conexos. Si el espacio es además un espacio vectorial topológico, también es base de entornos convexos. De hecho, podemos tomar la siguiente base de entornos: que (además de tener todas las propiedades antedichas)es numerable. Esto prueba que todo espacio pseudométrico cumple el Primer Axioma de Numerabilidad.
Si el espacio es un espacio normado, toda bola abierta es homeomorfa al espacio.
En matemática (en concreto en topología y en las ramas que la utilizan), una bola cerrada es un conjunto de puntos que distan de otro no más que un cierto radio. Es un concepto fundamental en el Análisis Matemático.
Bola cerradaUna bola cerrada, en topología, es el conjunto de puntos que distan de otro (el centro), una distancia igual o menor dada (el radio). Equivale al conjunto de puntos contenidos dentro de una superficie esférica, incluida dicha superficie.
Definición y notaciones
Sea  un espacio pseudométrico (por lo general se toma un espacio métrico, pero basta con que  sea pseudodistancia). Sea un númeroreal . Sea . Se define la bola cerrada de centro  y radio  como el conjunto .
Este conjunto tiene distintas maneras de denotarse. La usual y universal es , o también . A veces, si en el espacio existen distintas (pseudo-)distancias definidas, se hace hincapié en qué (pseudo)-distancia se está usando para definir el conjunto, utilizando esta notación: . En algunos textos se denota sin embargo por ....