Calculo de volumen por integracion

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CALCULO DE VOLUMEN POR INTEGRACIÓN
El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dadopor:

Ejemplos
1. Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las rectas dadas al girar en torno al eje OX:
y = sen xx = 0x = π2. Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.

3. Calcular elvolumen de la esfera de radio r.
Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².
Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.4. Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola y2 = x y la recta x = 2, alrededor del eje OY.
Como gira alrededor del eje OY,aplicamos:

El volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los extremos y = −4 e y = 4.

Como la parábola es simétricacon respecto al eje OX, el volumen es igual a dos veces el volumen engendrado entre y = 0 e y = 4.

5. Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse 16x2 +25y2 = 400, al girar:
1 Alrededor de su eje mayor.
2 Alrededor de su eje menor.

Como la elipse es simétrica al respecto de los dos ejes el volumen es el doble delengendrado por la porción de elipse del primer cuadrante en ambos casos.

6. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por lasgráficas de y = 2x −x2, y = −x + 2.
Puntos de intersección entre la parábola y la recta:

La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.
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