Calculo Ii - Volumen De Solidos

VOLUMEN DE SÓLIDOS

1.- VOLUMEN DE SÓLIDOS CON SECCIONES PLANAS CONOCIDAS

Sea S un sólido (espacio limitado por superficies) comprendido entre los planos paralelos x=a y x=b, cuyas secciones planas producidas por planos perpendiculares al eje x por un punto x de [a,b] tienen áreas conocidas A(x), siendo A una función continua en [a,b].

[pic]
Cuando un plano corta a un sólido, laintersección del plano y el sólido forman una SECCIÓN TRANSVERSAL del cuerpo.





Para determinar el volumen (extensión del espacio de tres dimensiones ocupado por un cuerpo) del sólido S, se considera una partición [pic] de [a,b] y se toma un punto cualquiera wi en cada subintervalo [xi-1,xi], con i=1,2,3,…,n. Se construyen n cilindros rectos ci de altura [pic]y área de la base A(wi).De esta forma, el volumen [pic]de cada ci es: [pic], i=1,2,3,…,n.
La suma de los volúmenes de los n cilindros es una Suma de Riemann, la cual es una aproximación del volumen V del sólido. Es decir: [pic]
Puesto que la aproximación es mejor en la medida que [pic], se define el VOLUMEN DEL SÓLIDO como: [pic]
Análogamente, para un sólido S comprendido entre los planos paralelos y=c y y=d.Si A(y) es una función continua en [c,d] que representa el área de una sección plana del sólido determinada por un plano perpendicular al eje y por un punto y de [c,d], entonces, el volumen de S está dado por: [pic]
De esta manera, se puede encontrar el volumen de cualquier sólido siempre que se conozca un elemento diferencial y la formula para hallar su área. Por ejemplo si A(x), representa elárea de una sección en x, perpendicular al eje x, entonces el volumen del sólido se obtendrá integrando A(x) con respecto a x. Así, para encontrar el volumen total de un sólido cuyas secciones transversales son triángulos, se calcula el área de uno de esos triángulos diferenciales y se integra con respecto a x.

EJERCICIOS:
1. La base del sólido es la región acotada por las rectas: [pic]. Silas secciones transversales perpendiculares al eje x son triángulos equiláteros, encuentre el volumen del sólido que se genera.
Sol.-
Puntos de Intersección: [pic]
[pic]
[pic] [pic]



El área de un triángulo equilátero es: [pic]
La longitud de la base es: [pic]
El área de la sección transversal es: [pic]
El volumen del sólido es:
[pic]


2. Calcule el volumen delsólido cuya base es una región elíptica con la curva frontera [pic]. Las secciones transversales perpendiculares al eje x son: (a) triángulos rectángulos isósceles con un cateto en la base, (b) cuadrados, (c) semicírculos, (d) triángulos rectángulos isósceles con la hipotenusa en la base
Sol.-
[pic]
[pic]

[pic]

(a) triángulos rectángulos isósceles con un cateto en la base


[pic]
El áreade un triángulo isósceles es: [pic]

La longitud de la base (b) es igual a un cateto: [pic]

La longitud de la altura (h): [pic]
El área de la sección transversal es:
[pic]
El volumen del sólido es:
[pic]

(b) cuadrados:


[pic]
El volumen del sólido es:
[pic]
(c) semicírculos

[pic]

El volumen del sólido es:
[pic]

(d) triángulos rectángulos isósceles con la hipotenusaen la base

[pic]
El área de un triángulo isósceles es: [pic]
La longitud de la base (b) es igual a la hipotenusa: [pic]
La longitud de la altura (h): [pic]
El área de la sección transversal es:
[pic]
El volumen del sólido es:
[pic]
3. La base de un sólido es la región del plano xy acotada por las gráficas de [pic]. Calcular el volumen del sólido suponiendo que la sección que seobtiene al contacto con un plano perpendicular al eje y es un semicírculo.
Sol.-
Puntos de Intersección: [pic]
[pic]

El área de un semicírculo es: [pic]
La longitud del diámetro es: [pic]
La longitud del radio es: [pic]
El área de la sección transversal es:
[pic]
[pic]
2.- VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Un SÓLIDO DE REVOLUCIÓN es un sólido que se obtiene al girar una región del...