calculo diferenciañ

BLOQUE: I. APLICAS LA DIFERENCIAL EN ESTIMACIÓN DE ERRORES Y APROXIMACIONES
DE VARIABLES EN LAS CIENCIAS EXACTAS, SOCIALES, NATURALES Y ADMINISTRATIVAS

DIFERENCIALES
Diferencial de una funciónSea una función y = f(x). Dado un punto de abscisa x, se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento) h y se
encuentra un punto x + h.
Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa x, ydesde x + h se levanta una paralela al eje de ordenadas
hasta cortar a la curva y a la tangente.
Si α es el ángulo que forma la tangente con el eje X.

tg  f ´(x) 

AC
h

Diferencial de unafunción en un punto
Se define diferencial de una función y = f(x) en un punto x, y se simboliza por dy ó df(x), al
producto f'(x) · h. Por tanto,
dy = df(x) = f'(x) · h
Propiedades de ladiferencial
Primera propiedad:
La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el
incremento h que se ha tomado.
Segunda propiedad:
Al ser dy = f ' (x)·h = , ladiferencia de una función en un punto es el incremento (aumento)
de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x.
Tercera propiedad:
Si se considera la función y = f(x) = x,df(x) = dx = f'(x) · h = 1 · h = h. Así, dx = h y se puede
dy
escribir d ( f ( x))  dy  f ´(x)  dx , y pasando dx al primer miembro,
 f ´(x)
dx
Cuarta propiedad:

cuando h es infinitamentepequeño, el cociente dy es prácticamente igual a

cuando h es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido será mínimo.

Ejemplos:
2
 Un móvil se mueve según la relación s = 5t + t,donde s representa el espacio recorrido
medido en metros y t el tiempo medido en segundos.
Se quiere saber los metros que recorre el móvil en el tiempo comprendido entre

Resolución:
 Diferenciandola expresión s = 5t2 + t,
ds = (10t + 1) · dt

 Sustituyendo en la expresión de ds,
 En la figura se observa que en realidad recorre algo más de 23,66 metros:

Se ha cometido un error de...