Calculo diferencial

TRABAJO COLABORATIVO (TALLER) No. 2
UNIDAD 2 ANALISIS DE LÍMITES Y CONTINUIDAD

CARLOS VARGAS JEREZ
CÓD. 18.235.911
PEQUEÑO GRUPO 100410_131

TUTOR
WILSON IGNACIO CEPEDA
INGENIERO CIVIL

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – “UNAD”
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
CALCULO DIFERENCIAL
2010
INTRODUCCIÓN

El límite de una función es un conceptofundamental del cálculo diferencial. Informalmente, el hecho de que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.

En el presente taller se desarrollan algunos ejercicios sobre los temas vistos en la Unidad 2 del Módulo Cálculo Diferencial, denominada Límite de unaFunción, Continuidad, donde se aplican conceptos como: límite de una función, propiedades de los límites, formas indeterminadas, límites infinitos, trigonométricos, exponenciales, demostración de límites, continuidad, entre otros.

TRABAJO COLABORATIVO (TALLER) No. 2
UNIDAD 2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN, CONTINUIDAD

Cada pregunta se debe resolver paso por paso, sin omitir ningún proceso, cuandose utilice una propiedad, definición o ley por favor enunciarla, así se fortalece el procedimiento utilizado.

FASE 1

A. Resuelva los siguientes límites:

1. limn→ -1 5+n-2n+1

Racionalizamos a2-b2=a+b(a-b)

limn→-15+n-2 . 5+n+(2)n+1 5+n+2

limn→-15+n2-22n+15+n+2=5+n-4n+15+n+2= n+1n+15+n+2=15+n+2

limn→ -1 15+n+2
= 15-1+2=14+2=12+2=14 Evaluandolimn→ -1 5+n-2n+1= 14

2. lima→ π 2cos2a-4sen3a

lima→ π 2cos2a-4sen3a
=2cos2π- 4sen3π Reemplazamos a

=21-40=2 Evaluando
lima→ π 2cos2a-4sen3a= 2
3. limx→ 1 x2+3x-x2+x

=12+3(1)-12+1 Reemplazamos x

=4-2 Evaluando
=2-2

limx→ 1 x2+3x-x2+x=2-2

B. Demuestre que:

4. limh→0 b+h2-b2h=2b

limh→0 b+h+b(b+h-b)h=2b

limh→0 (2b+h) (h)h=2b

limh→02b+h=2b

2b+0 =2b Evaluando

2b =2b, entonces se comprueba que

limh→0 b+h2-b2h=2b

5. limh→0 x+h3-x3h=3x2

limh→0 x+h-xx+h2+x+hx+x2h=3x2 Factorizo diferencia de cubos
limh→0 hx2+2xh+h2+x2+hx+x2h=3x2 Reduzco y simplifico
limh→0 3x2+3hx+h2=3x2
3x2+30x+02=3x2 Evaluando
3x2=3x2, comprobamos que
limh→0 x+h3-x3h=3x2

FASE 2

C. Demuestre lossiguientes límites infinitos:

6. lima→∞ a2+1a+2- a2+10a+1 = -1

Tenemos en cuenta que: Límite de sucesiones lima→∞ kx = 0, entonces

lima→∞ a2+1a+1-a+2a2+10a+2a+1 = -1

lima→∞ a3+a2+a+1-a3+10a+2a2+20a+2a-1 = -1

lima→∞ a3+a2+a+1-a3-10a-2a2-20a2+a-2 = -1

lima→∞ -a2-9a-19a2+a-2 = -1

lima→∞ -a2a2-9aa2-19a2a2a2+aa2-2a2 = -1 Dividimos por el mayor exponente-1-0-01-0-0= -1 Evaluando
-1= -1

7. limx→∞ x2+x –x= 12

limx→∞ x2+x-x x2+x+xx2+x+x= 12 Amplificamos por la conjugada

limx→∞ x2+x- x2x2+x+x= 12 Factorizamos

limx→∞xx2+x+x= 12

limx→∞xxx2x2+xx2+xx= 12

11+0+1= 12 Evaluamos

11+1= 12

11+1= 12

12= 12

D. Límites trigonométricos. Demuestre que:

8. limu→0 sen2u2u2 = 14, Tenemos en cuenta quelimt→0 sentt = 1

limu→0 senu2u.senu2u = 14

limu→0 12senu2u2.12senu2u = 14

121.121 = 14 Evaluamos

14= 14

9. limx→0 tan2xsen4x = 12

limx→0 sen2xcos2xsen4x1 = 12

limx→0 sen2x2sen2xcos2xcos2x = 12

limx→0 12cos22x = 12

12cos2(20) = 12 Evaluamos
12(1) = 12
12 = 12

10. limθ→0 1-cosθθ = 0

limθ→0 1-cosθ1+cosθθ1+cosθ = 0

limθ→0 1-cos2θθ1+cosθ= 0
limθ→0 sen2θθ1+cosθ = 0

limθ→0 senθθ. senθ1+cosθ= 0

limθ→0 senθθ. senθ1+cosθ= 0

1.senθ1+cosθ= 0 Evaluamos

1.02= 0

1 0= 0
0= 0

FASE 3

E. Límites exponenciales. Demuestre que:

11. limx→∞ 3x2-x+12x2+x+1x21-x2 = 23

limx→∞ 3x2x2-xx2+1x22x2x2+xx2+1x2x2x21x2-x2x2 = 23 Dividimos por el mayor exponente

limx→∞ 3-1x+1x22+1x+1x211x-1 = 23...