Calculo diferencial

Transformada de Hilbert
La transformada de Hilbert presenta inter´es en varios campos. En la teor´ıa de se˜nales sirvi´o a Ville para definir lo que ´el llam´o frecuencia ins- tant´anea de una se˜nal.
Observando que las dos componentes real e imaginaria de la funci´on exponencial con exponente imaginario forman un par de transformadas de Hilbert, extendi´o este modelo a cualquier se˜nal x(t),asoci´andole la llamada se˜nal anal´ıtica mediante la si- guiente f´ormula:
zx(t) = x(t) + iˆx(t)

donde ˆx(t) es la transformada de Hilbert de x(t). Luego se inspir´o con lo que ocurre en el ejemplo monocrom´atico para definir la frecuencia instant´anea como la derivada del argumento de la se˜nal anal´ıtica asociada.
Y aunque resulta que esta definici´on de frecuencia instant´anea resultainteresante solamente en contados casos, la idea de se˜nal anal´ıtica s´ıque es muy ´util en muchas situaciones, por ejemplo en toda la teor´ıa sobre filtros en cuadratura.

Otro campo donde interviene la transformada de Hilbert y que lo cito porque lo he utilizado en alguna de mis investigaciones que luego indicar´e, es su relaci´on con la energ´ıa absorbida y disipada en un sistema en equilibriosobre el que act´ua una fuerza externa. Concretamente supongamos que una fuerza f(t) es aplicada sobre un sistema estable produciendo un desplazamiento x(t). Interpretemos f(t) y x(t) como la entrada y la respuesta en un filtro lineal cuya funci´on de transferencia sea G(ω). Entonces se prueba que las partes real D(ω) e imaginaria A(ω) de G(ω) forman un par de transformadas de Hilbert yrepresentan respectivamente la energ´ıa disipada y absorbida por el sistema como efecto de la fuerza f(t). El trabajo al que me acabo de referir en relaci´on con este punto est´a contenido en varios art´ıculos que publiqu´e en colaboraci´on con el antes citado Forni´es y con Arcega.
En ellos estudiamos el fen´omeno de la relajaci´on diel´ectrica seg´un el modelo de Cole- Davidson, y relacionamos lafunci´on de autocorrelaci´on de la polarizaci´on de orientaci´on con la densidad espectral de la energ´ıa. Para limitarme al tema del que ven´ıamos hablando citar´e solamente el resultado seg´un el cual la parte real de la densidad espectral est´a asociada a la energ´ıa almacenada en el diel´ectrico, siendo m´axima dicha energ´ıa para la frecuencia t´ıpica de relajaci´on, mientras que la parte imaginariade la densidad espectral mide la energ´ıa disipada en el medio debido a las interacciones moleculares que presentan los dipolos el´ectricos con diferentes tiempos de relajaci´on.
Cito tambi´en otro trabajo de otra ´ındole en el cual se utilizan simult´aneamente las transformadas de Hilbert y de Fourier. ´Este lo realic´e con el anteriormente citado Valdiz´an y fue presentado en un congresom´edico en Barcelona y posteriormente publicado en Holanda. En el trabajo exponemos un m´etodo para determinar la profundidad de neuronas mediante varias mediciones en la superficie de su actividad el´ectrica.

Transformada de Hilbert
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La transformada de Hilbert (en rojo) de una onda cuadrada (en azul).
En matemáticas y en procesamiento de señales, la transformada de Hilbert [pic], deuna función real, [pic], se obtiene mediante la convolución de las señales s(t) y 1 / (πt) obteniendo [pic]. Por lo tanto, la transformada de Hilbert [pic]se puede interpretar como la salida de un sistema LTI con entrada s(t) y respuesta al impulso 1 / (πt).
Es una herramienta matemática útil para describir la envolvente compleja de una señal modulada por una portadora real. Su definición es:[pic]
donde
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y considerando la integral como el valor principal (lo que evita la singularidad [pic]
La transformada de Hilbert posee una respuesta en frecuencia dada por la transformada de Fourier:
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o, de manera equivalente:
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(o también [pic]) es la unidad imaginaria
Y como:
[pic],
la transformada de Hilbert produce el efecto de...