Calculo Diferencial

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE TIERRA BLANCA

CATEDRATICO:


MATERIA
CALCULO DIFERENCIAL
UNIDAD V “APLICACIÓN DE LA DERIVADAS”

ALUMNOS


INTRODUCCION

En este trabajo de investigación nos enfocamos al tema de las aplicación de las derivadas, tratamos de comprender las aplicaciones de lasderivadas, tomando temas como valores de máximos y mínimos y sus criterios, tipos de rectas como lo son tangentes y rectas normales, en una determinada curva, como también a su vez los tipos de teoremas que son utilizadas en dichas curvas, como también mostramos como resolver problemas de optimización y tasas relacionadas.
Como a su vez también van incluidas nuestras interpretaciones de cada tema,tratando de ser lo más claro y objetivos posibles en dicha investigación, como a su vez apoyándonos en gráficas y hacer más entendibles los temas investigados.

INDICE

5.1 Recta tangente y Recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. 5
5.2 Teorema de Rolle 8
Teorema de Langrage o Teorema del valor medio del Calculo Diferencial 9
5.3 Función creciente y decreciente 12MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION 12
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MAXIMOS Y MINIMOS 14
TEOREMA VALOR MAXIMO Y MINIMO 14
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION DE UNA CURVA 15
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA CONCAVIDAD 18
CRITERIO DELA SEGUNDA DERIVADA EN MAXIMOS Y MINIMOS 18
5.4 ANALISIS DE LA VARIACION DE FUNCIONES 19
5.5 Calculo De Aproximaciones Usando La Diferencial 21
5.6PROBLEMAS DE OPTIMIZACION Y TASAS RELACIONADAS 21
Tasas relacionadas 23
BIBLIOGRAFIA 24

5.1 Recta tangente y Recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espacio tangente a una variedaddiferenciable de dimensión 1,R1.

Grafica 1 Tangente a una curva
Grafica 1 Tangente a una curva


Sea ∁ una curva, y A un punto regular de esta, es decir un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en A la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente en C en A es la recta TA que pasa por A y que tiene la misma dirección que C alrededor de A.

Latangente es la posición límite de la recta secante ( ) (el segmento se llama cuerda de la curva), cuando M es un punto de C que se aproxima indefinidamente al punto A (M se desplaza sucesivamente por M1 M2 M3….
Si C representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta tendrá como coeficiente director (o pendiente):
fx-f(a)x-a
Donde (a,fa) son las coordenadasdel punto A y (x,fx) las del punto M. Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:

limx→afx-f(a)x-a

Es por definición, f´(a) la derivada de f en a.
La ecuación de la tangente es TA:
y=f´a∙x-a+fa

La recta Ortogonal a la tangente que pasa por el punto (a,fa) se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por -1f´(a) . Siendo suecuación:
y=-x-af´a+fa

Suponiendo claro está que f´(a)≠0. Si f´a=0 entonces la recta normal es simplemente x=a. Esta recta no interviene en el.

Se dice que son trayectorias ortogonales, si todas las curvas de una familia cortan perpendicularmente a todas las curvas de la otra familia.

El método para calcular la familia de trayectorias ortogonales a la familia uniparametricaGx,y,c=0 consiste en encontrar, en primer lugar, la ecuación diferencial asociada a la familia
y´=fx,y

Y, a continuación, planear y resolver la ecuación asociada a la familia ortogonal que vendrá dada por:
y´=-1/f(x,Y)

Figura 2 Curvas Ortogonales

Figura 2 Curvas Ortogonales










INTERPRETACION
La recta tangente es una recta que toca a una curva en cierto...