calculo diferencial

Problemas De Optimizacion Y Problemas De Tasas Relacionadas



Problemas de Optimización y de Tasas Relacionadas
La optimización se refiere al tipo de problema que se ocupa de la determinación de la forma más apropiada para realizar cierta tarea. Con el fin de resolver estos problemas, se calculan los valores mínimos y máximos de la función. Estos incluyen encontrar la distancia mínimapara llegar a un punto, el costo mínimo para hacer determinada operación, etc. La función cuyo máximo o mínimo necesita determinase por lo general está sujeta a ciertas restricciones que deben tomarse en cuenta.
Estos problemas son diferentes a los problemas utilizados para encontrar los valores mínimos o máximos locales. Los Problemas de optimización sólo se ocupan de los valores máximos o mínimosque una función puede tomar y no del mínimo o máximo en un intervalo. Es decir, la optimización busca el mínimo o máximo global (absoluto) y no el local. El mínimo o máximo absoluto es el mayor entre el mínimo o máximo local, respectivamente.
Puede haber casos, donde el mínimo o máximo global no existe para una función. En estos el dibujo de la gráfica para la función correspondiente puedeayudar en gran manera.
Hay algunos pasos que deben seguirse con el fin de desglosar un problema de optimización:
1). Lo primero y más importante es identificar las variables y constantes de la función. Esto ayuda a determinar la parte de la función que será minimizada o maximizada.
2). Escribir la fórmula adecuada para la función particular, para lo cual tenemos que calcular el mínimo o máximo.3). Ahora, la fórmula será escrita en términos de una sola variable, es decir, f®.
4). Establezca la diferenciación de f® a 0, f ‘® = 0, y resuelva a través de observar todas las limitaciones y otros valores críticos para encontrar los valores extremos.
Por ejemplo, considere la función, g ® = -r2 + 4r – 2. Y siendo el intervalo en el cual el valor máximo será encontrado [0, 1]. Calculando g‘® se obtiene,
g’ ® = −2r + 4 = 0
Por lo tanto, 2 viene a ser un valor crítico, luego reemplazando el 2 en la función g (2) = 2. Ahora sustituyendo uno por uno los valores del intervalo en el lugar de r, obtenemos,
g (0) = −2 g (1) = 1
Se puede observar, que el valor máximo de g® en [0, 1] es 2.
Un tipo parecido de problema es el problema de las tasas relacionadas. Se trata de unproblema en el que se proporciona la tasa de variación de al menos una variable de la función y en el problema se necesita buscar la otra tasa de variación.
También hay ciertas reglas simples para resolver estos problemas:
Considere que f(a) sea una función con dos variables a y b, las cuales cambian con el tiempo y la tasa de variación de a es dada con el tiempo, es decir, .
1). En primer lugar,encontrar la derivada de f(a), es decir, f ‘(a)
2). Ponga el valor de a en la ecuación
3).Entonces multiplíquelo con para obtener
Aplicar las reglas en un ejemplo proporcionará una mejor comprensión:
Suponga que la pregunta dada dice lo siguiente: Se está bombeando aire a un globo esférico de 4 cm de radio a 5 cm3 / seg. Entonces, el ritmo de cambio del radio del globo necesita sercalculado.
Se puede observar que el radio y el volumen son las variables de las funciones correspondientes. es dada y es igual a 5 cm3/seg y necesita encontrarse. Como V= 4 r3 / 3. Diferenciando ambos lados, se obtiene . Ahora sustituyendo el valor de en esta ecuación, se obtiene
cm /seg.






5.4 Análisis de la variación de funciones.

En función de variación acotada, también conocidocomo BV función, es un numero real con valores de función cuya variación total está limitado (finito): la gráfica de una función con esta propiedad se comporta bien en un sentido preciso. 
Para una función continua de una sola variable, por ser de variación acotada significa que la distancia a lo largo de la dirección de la yEjes, dejando de lado la contribución del movimiento a lo largo de x...