Calculo Diferencial

4.1. Sea X una variable aleatoria con distribución binomial y parámetros n y p. Mediante la función de probabilidad binomial, verificar que
p(n - x; n, I - p) = p(x;n,p).

Solución:
Se determinala probabilidad de tener en n ensayos, x éxitos y n-x fracasos, así dado que son ensayos independientes, entonces:
p∙p∙p∙…∙p (1-p)(1-p)(1-p)…(1-p)X términos (x-n) términos
Por tanto la probabilidad de tener x éxitos y n-x fracasos en cualquier orden es el producto: p^x 〖(1-p)〗^(n-x) por el número de orden distinto. Así:p(x;n;p)= (n¦x) p^x 〖(1-p)〗^(n-x)
Sin embargo si se quiere hallar la probabilidad de tener en n ensayos, n-x fracasos, entonces:
(1-p)(1-p)(1-p)…(1-p) p∙p∙p∙…∙pX términos (x-n) términos
Por tanto la probabilidad de tener x-n éxitos y x fracasos en cualquier orden es el producto: 〖(1-p)〗^x p^(n-x) por el número de orden distinto. Así:
p(n-x;n;1-p)= (n¦(n-x)) 〖(1-p)〗^(n-x) [1-〖(1-p)〗^(n-(n-x)) ]
Dado que:
(n¦(n-x))= (n¦x)
Entonces: p(x;n;p)= p(n-x;n;1-p)

4.2. En una distribuciónbinomial, sea X el número de éxitos obtenidos en diez ensayos donde la probabilidad de éxito en cada uno es de 0.8. Con el resultado del problema anterior, demostrar que la probabilidad de lograr de maneraexacta seis éxitos es igual a la probabilidad de tener cuatro fracasos.

Solución:

p(x;n,p)=(n¦x) p^x 〖(1-p)〗^(n-x) donde (n¦x)=n!/((n-x)!x!)

Dado que p(x;n,p)=p(n-x;n,1-p) entonces(n¦x) p^x 〖(1-p)〗^(n-x)=(n¦(n-x)) 〖(1-p)〗^(n-x) p^x


De acuerdo a los datos del problema

n=10, p=0,8 , x=6

Probabilidad de tener exactamente seis éxitos
p(x=6)=(10¦6) 〖0,8〗^6〖(0,2)〗^4=(210)*(0,262144)*(0.0016)=0,088080384

Probabilidad de tener cuatro fracasos:
n-x=4;n=10,1-p=0,2

(10¦4) 〖0,2〗^4 〖(0,8)〗^6=(210)*(0.0016)*(0,262144)=0,088080384

Al comparar las dos...