calculo diferencial

INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD HIDALGO

CÁLCULO DIFERENCIAL
Ing. Eleazar Duran Soto

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Calculo Diferencial Unidad 1.nb

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UNIDAD 1
Números reales
Cálculo Diferencial

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1.1 La recta numérica.
Todos los números pueden ordenarse en una recta numérica. De esta manera,
podemos determinar si un número es mayor o menor que otro,dependiendo del
lugar que ocupa en la recta numérica. Para representar números como puntos de
una recta puedes proceder de esta manera:
ì Trazas una recta horizontal y sobre ésta marcas un punto. A ese punto lo llamas 0.
ì Eliges una medida cualquiera (no demasiado grande para que puedas ubicar varios

números) y la utilizas como distancia para marcar el 1 a la derecha del 0, el 2 a laderecha del 1, etcétera.
ì Recuerda, la distancia entre los números debe tener la misma medida:

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1.2 Los números reales.
1 El cálculo se basa en las propiedades de los números reales. Si se suma el número
real 1 sucesivamente a sí mismo se obtienen los enteros positivos 1, 2, 3, 4, .... Los
números enteros constan de todos los enteros positivos y negativosjunto con el
número real 0. Frecuentemente se escriben los enteros en una lista como sigue:
..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
A lo anterior le conocemos como la recta numerica de los números reales, los
números racionales son aquellos números reales que se pueden expresar como el
cociente a/b de dos números enteros a y b con b diferente de 0. Los números
reales que no son racionales sellaman irracionales. Por ejemplo, la razón del
perímetro de una circunferencia a su diámetro es un irracional. Este número real
se denota por p y se escribe p = 3.1416 para indicar que p es aproximadamente
igual a 3.1416. Otro ejemplo de un número irracional es 2 .

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Clasificación de los números reales

Números naturales (N): Es cualquiera de losnúmeros 0, 1, 2, 3... Que se pueden
usar para contar elementos o cosas. N= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ..
Números enteros (Z): Cuando se necesita restar, se obtienen a partir de los naturales añadiendo los opuestos para la operacion de suma. Z= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2,
3,..}
Números racionales (Q) (fraccionarios, o quebrados): Cuando un numero se puede
escribir en forma fracción. Los racionalesse obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la multiplicación. Q= {... 1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745,
4.1515......}
Números irracionales (I): No pueden representarse en forma fraccionaria. Se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo. I={ p, 3 ,ã,ln}
De esta manera hemos completado la recta numérica, asociando a cada punto deella un número real.

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1.3 Propiedades de los números reales
1.3.1 Tricotomía
2 La propiedad de tricotomía dice:
- Si un número es mayor que otro, no puede ser igual o menor que el.
- Si un número es igual que otro, no puede ser mayor o menor que el.
- Si un número es menor que otro, no puede ser igual o mayor que el.
La propiedad de tricotomía denúmeros reales indica que, para cualquier dos
números
reales a y b, uno del siguiente es exactamente verdad:
ab.

1.3.2 Transitividad
Una relación binaria R sobre un conjunto A es igual, transitiva cuando se cumple:
siempre que un elemento se relaciona con otro y ese último con un tercero,
entonces el primero se relaciona con el tercero.
Ejemplo: si a es mayor que b, y b es mayor que c,entonces, a es mayor que c.
Una relación R es transitiva si a>b y b>c se cumple a>c.

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1.3.3 Densidad
3 La recta numérica permite visualizar que dado dos números racionales siempre
es posible encontrar otro comprendido entre los números dados. Esta propiedad
es característica de los números racionales y se denomina Densidad.

Los números racionales e...