Calculo diferencial

PRIMERA PRUEBA DE CALCULO
Ingenier´ Civil
ıa
Fila A
20 de abril de 2002.
1
1. (a) Si x = − , evaluar la expresi´n |−3 + |6x + 1| | .
o
5
(b) Resuelva la desigualdad |−3 + |6x + 1| | < 5.(c) Determine todos los n´meros reales x que satisfacen la desigualdad:
u
x
1
8
+
≤ 2
.
x+2 x−2
x −4
(d) Calcule lim

n→+∞

n
n+1

n+2

.

2. Considere la siguiente sucesi´n definidapor recurrencia:
o
1
6
1 + 5an
=
6

a1 =
an+1
(a) Calcule: a2 , a3 y a4 .

(b) Demuestre utilizando inducci´n que la sucesi´n es creciente.
o
o
(c) Demuestre que la sucesi´n es acotadasuperiormente por 2.
o
(d) Analice la existencia del l´
ımite de la sucesi`n sin calcularlo.
o
(e) Calcule lim an .
n→+∞

3. Dadas las sucesiones:
1
1
1
+
+ ... +
n+1 n+2
n+n
1
1
1+
+ ... +
=
n n+1
n+n

an =
bn

(a) Demuestre que {an } es creciente y acotada superiormente por 1.
(b) Demuestre que {bn } es decreciente y acotada inferiormente.
(c) Deduzca que ambassucesiones son convergentes y que convergen al mismo n´mero.
u

Puntaje: Todas las preguntas valen 2 puntos.
Usted dispone de 120 minutos para resolver la prueba y no debe usar calculadora.

1´
SOLUCION

1. (a) Si x = −

1
5

6x + 1 = 6 −

1
6
1
+1=− +1=−
5
5
5

Luego:
−3 + |6x + 1| = −3 +

1
14
=−
5
5

Por lo tanto:
| − 3 + |6x + 1|| =

14
5

(b) | − 3 +|6x + 1|| < 5
Lo cual equivale a:
−5 < −3 + |6x + 1| < 5
−2 < |6x + 1| < 8
Como |x| ≥ 0; ∀ x ∈ I La desigualdad:
R;
|6x + 1| > −2 se satisface ∀ x ∈ I
R
Por otro lado:
|6x + 1| < 8 ⇔ −8 < 6x+ 1 < 8
−9 < 6x < 7
9
7
− 0 si x = −2
(x − 3)(x − 2) ≤ 0

Sol: ]2, 3]

(d)

lim

n→+∞

n
n+1

n
n+1
n

·

n+2

Si trabajamos el t´rmino general de la sucesi´n:
e
o
n
n+12

3

n
n+1

n

1
1+

n

1
2

·

n
n+1

·

n
n+1

1
2

1
n

Tenemos:

lim

n→+∞

1
1+

n
1
n

1
2

1
n
1
= e− 2 · 1 = √
n→+∞ n + 1
e

·...