Calculo Diferencial

INTRODUCCIÓN

Derivada de funciones
Definición: Se dice que la función f es derivable en el punto x, si el siguiente límite existe.

Al valor de este límite le llamamos la derivada de f en el punto x.
Recuerde que tomar límite cuando h tiende a cero, significa que h es diferente de cero pero tan pequeño como se quiera, independientemente del signo.
Cuando la función es derivable en x,es decir que el límite existe, es indistinto obtener la aproximación a la pendiente de la recta tangente con valores positivos o negativos de h, con tal de que éstos sean muy pequeños.
El incremento x de una variable x es el cambio en x cuándo crece o decrece desde un valor x=x1 hasta otro valor x=x2 en su dominio. Aquí x= x1 – x0 y podemos escribir x1 = x0 + x. Si la variable x experimenta unincremento x a partir de x = x0 (esto es, si x cambia de x = x0 a x = x0 + x) y una función cambia por tanto en un incremento y = f(x0 + x) – f(x0) a partir de y = f(x0), el cociente
y cambio en y
=
x cambio en x
Se llama la razón media de cambio de la función en el intervalo entre x = x0 y x = x0 + x.
Límite
El límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencialmatemático.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p. 
DESARROLLO
Fórmulas para la derivación
Estas fórmulas que mostramos a continuación, son las que se utilizan para derivar expresiones algebraicas,
1.-dc/dx=0
2.- dx/dx=1
3.- d/dx (u+v-w)=dw/dx+dv/dx-dw/dx
4.- d/dx (cv)=c dv/dx
5.- d/dx (uv)=u dv/dx
6.- d/dx (v^n )=〖nv〗^(n-1) dv/dx
6A.- d/dx (x^n )=〖nx〗^(n-1)
7.- d/dx (u/v)=(v du/dx-udv/dx)/v^2
7A.- d/dx (u/c)= (du/dx)/c
8.- dy/dx=dy/dv (dv/dx)
9.- dy/dx=1/(dx/dy)
Ahora se muestra una breve explicación de la forma que se desarrollan las formulas anteriores, mostrando paso a paso, hasta llegar al resultado.
Derivada de una constante
Si se sabe que una función tiene el mismo valor paracada valor de la variable independiente, esta función es constante, y podemos representarla por:
y=c
Cuando x toma un incremento ∆x, el valor de la función no se altera; es decir, ∆y=0.
∆y/∆x=0
lim┬(x→0)⁡〖∆y/∆x〗=dy/dx=0
dc/dx=0
La derivada de una constante es cero.
La grafica de la ecuación y=c es una recta paralela a OX; luego su pendiente es cero. Y como la pendiente es el valor de laderivada resulta que la derivada es 0
Derivada de una variable con respecto a si misma
Sea y=x
Siguiendo la regla general tenemos
PRIMER PASO y+∆y=x+∆x
SEGUNDO PASO ∆y=∆x
TERCER PASO ∆y/∆x=1
CUARTO PASO dy/dx=1
II. dx/dx=1
La derivada de unavariable con respecto a sí misma es la unidad.
En efecto, la pendiente de la recta y = x es la unidad.
Derivada de una suma.
Sea y = u + v – w
Según la regla general:
PRIMER PASO. y + ∆y = u + ∆u + v + ∆v - w - ∆w
SEGUNDO PASO. ∆y = ∆u + ∆v - ∆w
TERCER PASO.∆y/∆x=∆u/∆x+∆v/∆x-∆w/∆x
Ahora bien
〖 lim〗┬(∆x→0)⁡〖∆u/∆x〗 = du/dx, lim┬(∆x→0)⁡〖∆v/∆x= dv/dx,〗 lim┬(∆x→0)⁡〖∆w/∆x= dw/dx〗

CUARTO PASO dy/dx= du/dx+dv/dx-dw/dx

III d/dx (u+v-w)=du/dx+dv/dx-dw/dx
La derivada de la suma...