Calculo Diferencial

Límites.
1. Limite de una función en un punto.
Esta noción, es fundamental para el estudio del cálculo y es un concepto difícil de comprender. Esta es la razón por la que se advierte al lector que necesitará tiempo para trabajarlo y reflexionar acerca de su significado.
Cuando se investiga el límite de una función en un punto lo que se comúnmente se realiza es el estudiar elcomportamiento de dicha función en la cercanía de dicho punto.
Sea una función f, definida en un intervalo abierto (a, b) que contiene a x0∈R , aunque no esté definida en x0 . Lo que se interesa saber es el comportamiento de las imágenes de f(x) , para x próximos a x0 , que se aproximan a un número real L. Una de las primeras ideas para saber si f tiene este comportamiento es considerar una listasuficiente de números en el intervalo (a, b) y evaluar a f en cada uno de los elementos de esta lista. El problema de una lista es que siempre será finita y, en general, hay una infinidad de “puntos próximos a x0” y de esta manera será imposible averiguar si las imágenes de f de todos los “puntos próximos a x0”, que son una infinidad, se aproximan a un número real L .Entonces se necesita de unadefinición bastante precisa que permita investigar si f tiene o no, dicho comportamiento. Así llegamos a la definición de límite.
2.1. Definición de límite de una función.
Sea f una función definida en un intervalo abierto que contenga a x0∈R como elemento, excepto posiblemente en x0. El número real L es el límite de f cuando x tiende a x0 si y solo si para todo ε>0, existe δ>0con lapropiedad de qué:
Si x∈domf y 0<x-x0<δ entonces fx-L<ε.

Teorema.
Si una función f tiene límite en x0∈R, este es único.
Demostración:
Supongamos que existen l1 ,l2∈R tales que l1 y l2 son limites de f en x0, con l1 y l2 diferentes entre sí.
Sea ε=l1-l22.
Como l1 y l2 son límites de f en x0 entonces existen dos números reales positivos, δ1 y δ2 con las siguientes propiedades:
Six∈domf y 0<x-x0<δ1 entonces fx-l1<l1-l22.
Y
Si x ∈domf y 0<x-x0<δ2entonces fx-l2<l1-l22.
Si se considera δ=minδ1,δ2 entonces ∀x∈domf y 0<x-x0<δ se cumple que 0<x-x0<δ1 y 0<x-x0<δ2 y por lo tanto son ciertas las desigualdades siguientes:
fx-l1<l1-l22 Y fx-l2l1-l22.
En consecuencia, para x∈domf y 0<x-x0<δ se tiene que:l1-l2=l1-fx+fx-l2≤l1-f(x)+fx-l2=l1-f(x)+l2-f(x)<l1-l22+l1-l22=l1-l2.
Es decir l1-l2<l1-l2 que contradice la tricotomía en R. Por lo tanto, no pueden existir dos números reales, tales que ambos sean límites de f cuando x tiende a x0, entonces se concluye que el límite de f cuando x tiende a x0 es único si es que existe. †
Con este resultado de aquí en adelante se puede dar una notación para cuando l∈R es ellimite de la función f cuando x tiende a x0 ; se detonara como limx→x0fx=l

Teorema.
1) Si limx→x0fx=L y L>0 entonces ∃r>0 : ∀x∈x0-r,x0+r tal que fx>0
Demostración:
Como limx→x0fx=L
Entonces ∀L>0 ∃δ>0 :si x∈domf y 0<x-x0<δ entonces fx-L<L, y, ∃δ1>0 :x0-δ1,x0+δ1-x0⊂domf. Pero fx-L<L⟺0<fx<2L.
Por lo tanto si r=min {δ,δ1} se tiene que ∀x∈x0-r,x0+r tal quefx>0 †.
2) Si limx→x0fx=L y L<0 entonces ∃r>0 : ∀x∈x0-r,x0+r tal que fx<0
Demostración:
Como limx→x0fx=L
Entonces ∀L<0 ∃δ>0 :si x∈domf y 0<x-x0<δ entonces fx-L<-L, y, ∃δ1>0 :x0-δ1,x0+δ1-x0⊂domf. Pero fx-L<-L⟺2L<fx<0.
Por lo tanto si r=min {δ,δ1} se tiene que ∀x∈x0-r,x0+r tal que fx<0 †.Ejemplo 1.
Por medio de la definición de limite pruebe que el limx→43x-7=5.
Demostración.
Sea ε>0.
⊢ ∃δ>0 tal que ∀ ε>0 :0<x-4<δ y x ∈domf entonces 0<3x-7-5<ε.
Como 3x-7-5=3x-12=3(x-4)=3x-4 y dado que 3x-4<ε⟺x-4<ε3. Por lo tanto si elegimos a δ=ε3 para que satisfaga que si x∈domf y 0<x-4<δ entonces 0<3x-7-5<ε. †
En el ejemplo...