Calculo diferencial

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
DERIVADA
Concepto:
La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dosdimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.
La derivada es la "anti derivada" o integral; lo cual ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo estos están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como álgebra, trigonometría o geometríaanalítica, del cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del cálculo infinitesimal.
La derivada se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de física, química y biología, o en ciencias sociales como la economía y la sociología.
Lanotación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de en el punto a, se escribe:
Para la primera derivada,
Para la segunda derivada,
Para la tercera derivada,
Para la enésima derivada (n > 3).
(También se pueden usar números romanos).
Para la función derivada de , se escribe . De modo parecido, para la segundaderivada de se escribe , y así sucesivamente.
La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de , se escribe:


REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN
1. Se sustituye la variable dada por su respectivo incremento y se realiza las operaciones es decir:

• X por X + ∆X
• Y por Y + ∆Y
• Z por Z + ∆Z

2. Luego se resta el nuevo valor que seencontró menos la función inicial.
3. Se divide el incremento de la función (∆Y) para el incremento de la variable independiente (∆X).
4. Se encuentra el limite cuando ∆Y 0
Ejemplo:
 Y= 2-3x
Y+∆Y= 2-3(X+∆X)
Y+∆Y= 2-3X-3∆X
Y+∆Y= 2-3X-3∆X
-Y = -2+3X

∆Y

∆Y

∆Y

REGLAS DE DERIVACION
1. Derivada de una constante:
La derivada deuna función constante es cero. Esto es, si f(x) = c, para alguna constante, entonces f’(x) = 0.
Su símbolo es:
Ejemplos:
Y= a Z= 40
Y´= 0 Z´= 0
2. La derivada de una variable con respecto así misma:
Su resultado es la unidad eso quiere decir que es 1.
Su símbolo es:

Ejemplos:
Y=Z Z=X
Y´= 1 Z´= 1
3. Derivada de una suma algebraica:
Es igual a laderivada de cada uno de los términos:
Su símbolo: Y= U+V+W
Y´= du+ dv + dw
Ejemplo:
Y= 4 + X X= 60 + Y
Y´=0 + 1 X´= 0 + 1
Y´= 1 X´= 1
4. Derivada de una constante por una variable:
Es igual a la constante por la derivada de la variable.
Su símbolo es: Y=CX
Y´= Cdx

Ejemplo:





5. Derivada de unapotencia:
Se presentan en dos casos:
1. Cuando la base es un monomio es igual al exponente por la base elevada a dicha potencia menos uno.
Su símbolo es: Y=
Y´=
Ejemplo:
Z=
Z´=3*4
Z´=12
2. Cuando la base es un polinomio se aplica lo anterior y se deriva cada término del polinomio.
Ejemplo.
Y=
Y= 3

6. Derivada de un producto:
Esigual al primer factor por la derivada del segundo mas el segundo factor por la derivada del primero.
Su símbolo es d
Ejemplo:
Y=
Y´=
Y´=
Y´=
7. Derivada de un cociente:
Es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador y todo esto sobre el denominador al cuadrado.
Su símbolo es:
Ejemplo:...