Calculo diferencial

Contenido Temático de Cálculo Diferencial
1.1 Limites
La definición formal de límite ha tenido tradición de ser algo complicada para los estudiantes que la ven por primera vez. Vamos a presentarlaprimero y luego veremos detalladamente que es lo que nos dicen en forma tan suscita.
Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L o:

Si para todo ε > 0 existe un δ > 0, tal quesi 0 < |x - c| < δ, entonces |f(x) - L| < ε
Miremos en principio las normas o valores absolutos de la anterior expresión. Sobre la recta real, un valor absoluto de un número es la diferencia entreeste número (ya sea positivo o negativo) y el origen. -3 está a tres unidades de distancia de cero, por tanto |-3| = 3. De modo análogo, el valor absoluto de una resta corresponde a la distancia entrelos dos números involucrados en ella. Démonos cuenta que ε y δ en la definición anterior nos delimitan la distancia tanto entre los valores de f(x) y L, como entre los de c y x.
Es decir, una vezescogida una distancia entre x y c menor que δ pero mayor que cero (pues c se acerca a x pero no lo alcanza), podemos garantizar que la distancia entre f(x) y L es menor a ε Independientemente del εelegido.

1.1.1 Noción Intuitiva de límite y límites laterales
Ahora que hemos hecho una revisión de las funciones, llegamos a una idea central del cálculo, el concepto de límite.
Empecemos con unafunción f(x) = x2. Sabemos que f(2) = 4. Pero seamos un poco ingeniosos y creemos un "hueco" en x = 2. Podemos hacer esto variando la función sutilmente, así:


Esta última función es igual a x2 entodas partes excepto por x=2 donde no existe. Ahora, un hecho curioso es que cuando x se acerca más a 2, entonces f(x) se acerca más a 4. Esto es un hecho útil y podemos expresarlo en símbolos como:Note que no importa qué es f(x) en x=2, en este caso la hemos dejado indefinida, pero podría ser 2 o 15 o 10000000. Esto no importa, la idea de límite es que usted puede hablar acerca de cómo...