CALCULO DIFERENCIAL

CÁLCULO DIFERENCIAL.

Mag. ROBERTO LUIS MELÉNDEZ MURGAS

1.1. Entorno en R
 

Definición. Un entorno abierto de Números Reales de centro en

y de radio
es el conjunto de los números reales comprendidos entre los números y que
denotaremos matemáticamente:

Utilizando el concepto de valor absoluto de un número, podemos definir un
entorno abierto de centro en y radio así:

Gráficamente,

Entorno
 en

1.2. Entorno Agujereado o Reducido.
 

Definición.

Un entorno Agujereado de Números Reales es el conjunto de
los números reales comprendidos entre los números y sin incluir el número
que denotaremos matemáticamente:

Se emplea cuando se quiere saber qué pasa en las proximidades del punto, sin
que interese lo que ocurre en dicho punto.

Gráficamente,

 Representemos gráficamente lossiguientes entornos

•

 

1.3. Definición de Sucesiones.

Definición. Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto

de los números naturales en el conjunto de los números reales, mediante la
cuál a cada le corresponde un número real que representaremos por y al que
llamaremos término n-ésimo de la sucesión. Para representar una sucesión
utilizaremos el símbolo . El símbolo anteriordebe interpretarse como una
aplicación o relación que le a cada le hace corresponder un número real .
No debemos confundir que es una aplicación con su conjunto imagen que es un
subconjunto de los números reales formado por todos los números . Por
ejemplo las sucesiones son dos sucesiones distintas que tienen en mismo
conjunto de imágenes.

La gráfica de una sucesión es un conjunto de puntos delplano de la forma .

 

Por ejemplo, Construyamos la gráfica de los treinta primeros términos de
las sucesiones .

Mecanización:

Encuentra los cuatro primeros términos de las siguientes

sucesiones:

; ; ; ; ; ;

Término General de una Sucesión.
En la sucesión a la expresión se le llama el término general de la
Sucesión entonces

•  

Determina el término general de las siguientes sucesiones
•An={1, 4, 27,256, 3125 . . . }

•

Bn={2, 3/4, 4/9, 5/16, . . . }

•

Cn= { 8, 3, -2, -7, -12,. . . }

Mecanización: Encuentra el término general de las sucesiones
cuyos términos son:
•

Dn= { 3, 6, 12, 24, 48,. . . }

•

En= {-5, 7/2, -3, 11/4, -13/5,. . .}

•

Fn= {5/6, 7/12, 9/24, 11/48, 13/96,. . .}

•

Gn= {1/2, -1/3, 1/6, -2/27, 5/162,. . .}

1.4. Clases de Sucesiones.
 

1. SucesionesAcotadas.
•
•
•

Se dice que una Sucesión está Acotada Superiormente, si existe un tal
que los términos .
Se dice que una Sucesión está Acotada Inferiormente, si existe un tal
que los términos .
Se dice que una Sucesión está Acotada, si está acotada superior e
inferiormente, es decir, existe un
tal que
los términos , o
equivalentemente si existe un tal que

 Definición. El número es una cota inferior dela sucesión si para todos los

números enteros positivos ; el número es cota superior de la sucesión si para
todos los números enteros positivos .
Definición. Si es una cota inferior de la sucesión y tiene la propiedad de que
para cada cota inferior de , , entonces es la máxima cota inferior de la
sucesión. De manera semejante, Si es una cota superior de la sucesión y tiene
la propiedad de quepara cada cota superior de , , entonces es la mínima cota
superior de la sucesión.

 

2. Sucesiones Monótonas.

• Se dice que una Sucesión es Monótona Creciente, si .
• Se dice que una Sucesión es Monótona Decreciente, si ; .
• Una Sucesión es Monótona, si es monótona creciente o monótona
decreciente.
En el caso de que las desigualdades sean estrictas se obtienen respectivamente
sucesionesestrictamente crecientes o sucesiones estrictamente decrecientes.

Mecanización: Utiliza Excel o un programa graficador para graficar los 100
primeros términos de cada una de las siguientes sucesiones y determina su clase
según el acotamiento y la monotonía.
; ; ; ; ;

;

Demostración de la Monotonía. Estudiar las monotonías de las siguientes
sucesiones.

 

3. Sucesiones Convergentes.

Definición....