Calculo ejercicios resueltos

´ UNIVERSIDAD DE CONCEPCION ´ ´ FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS ´ DEPARTAMENTO DE INGENIER´ MATEMATICA IA

´ Evaluacion 1 ´ CALCULO II (520146) Primer Semestre 2008 1. Calcule lassiguientes integrales: a) 54−2x dx 54−2x + 2 b) 2− ln(x ) dx x
2

Soluci´n o a) Sea u = 54−2x + 2, du = 54−2x (−2 ln(5))dx reemplazando, se tiene: du 1 54−2x dx = 54−2x + 2 −2 ln(5) u 1 ln(u) + C = −2ln(5) 1 = ln(54−2x + 2) + C −2 ln(5) b) Sea u = − ln(x2 ), du = −2 reemplazando: x 2− ln(x ) 1 dx = x −2 = −
2

2u du

1 2u + C 2 ln(2)
2

2− ln(x ) +C = − 2 ln(2)

2. Estudie la convergenciade las siguientes integrales

1

+∞

a)
√ 2

2 dx 2 +4 x

1

b)
0

ln(x) dx

Soluci´n: o a)
+∞ √ 2

x2

2 dx = +4

b−→∞

l´ arctan ım

x b |√2 2

b − arctan = l´ arctanım b−→∞ 2 √ π 2 = − arctan 2 2 Es convergente b)
1

√

2 2

ln(x) dx =
0

a−→0

l´ (x ln(x) − x)|1 ım a
a→0

= (ln(1) − 1) − l´ (a ln(a) − a) ım = (−1) − l´ a ln(a) ım
a→0(Calculamos el l´ ımite usando L’Hopital l´ a→0 ım l´ a→0 −a = 0) ım
1

1/a ln(a) = l´ a→0 ım = 1/a −1/a2

As´ ı
0

ln(x) dx = −1 − 0 = −1, por lo tanto es convergente.

3. La ecuaci´n que modela lademanda de un producto es: o p= 28 −3 q+2

1 mientras que la ecuaci´n de oferta es p = (q + 1) o 3 a) Determine el excedente de los consumidores y de los productores, bajo el supuesto de equilibriode mercado. b) Bosqueje en un gr´fico de las curvas de oferta y demanda luego identifique a las regiones cuyas areas corresponden al exedente de los productores y de los consumidores.

2Soluci´n: o a) Igualando las ecuaciones, se tiene: 1 28 − 3 = (q + 1) q+2 3 1 10 − 28 = 0 q+ 3 3 ⇒ (q + 16)(q − 4) = 0 5 As´ el equilibrio se tiene con q = 4 y p = . ı, 3 5 Utilizando p0 = y q0 = 4, se tieneque el excedente de los consumidores es: 3 ⇒ (q + 2) 28 5 − 3) dq − ( )(4) 3 0 q+2 20 = (28 ln(q + 2) − 3q) |4 − 0 3 56 = 28 ln(3) − 3 El excedente de los productores es: EC = ( 5 EP = ( )(4) − 3 8...