Calculo Ejercicios

Guía, pág 17
Pag. 18
Demostrar que los puntos (2, 2, 8) (2, 6, 4) (6,6,0) (6,2,4) son los vértices de un cuadrado y encuentra su área.

d1=(2-2)2+ (6-2)2+(4-8)2 d2=(6-2)2+(6-6)2+(0-4)2
d1=42+42 d2=42+42
d1= 32 d2= 32

d3=(6-6)2+ (2-6)2+(4-0)2 d4=(6-2)2+(2-2)2+(4-8)2
d3=42+42 d4=42+42
d3= 32 d4= 32

A=d2=32u2

Encuentra el punto medio del segmento determinado porlos dos puntos dados A) (4,1,6), (2,-3,4) B) (3/2, 0,2), (1/2, -5, 7) C) (3,-1,√8), (-1,6, √18)D) (cos60°, sec60°, 2sen120°), (tan45°, 4sen30°, cot30°).

A) (4, 1, 6), (2,-3, 4)
PM=(3,-1,5)

B) (3/2, 0, 2), (1/2, -5, 7)
PM= (1,-2.5, 4.5)

C) (3,-1, √8), (-1,6, √18)
PM=(1,2.5,3.5)

D) (cos60°, sec60°, 2sen120°), (tan45°, 4sen30°, cot30°)
Pm=(1.5, 2, 2.26)

11. En cada caso,encuentra el punto P(x, y) que divide al segmento en la razón:

a) A(2,3,1)  B(5,5,4)   r=12
x=2+12(5)1+12=3 y=3+12(5)1+12=113 z=1+12(4)1+12=2 P(3,113, 2)

b) A(4,5,-2)  ,  B(-1,0,4)   r=23

x=4+23(-1)1+23=2 y=5+23(0)1+23=3 z=-2+23(4)1+23=25 P(2,3,25)

c) A(4,-1,5) ,  B(4,7,0)   r=32

x=4+32(4)1+32=4 y=-1+32(7)1+32=195 z=5+32(0)1+32=2 P(4,195,2)

d) A(6,10,-6)   , B(0,0,4)   r=47x=6+47(0)1+(47)=4211 y=10+47(0)1+(47)=7011 z=-6+47(4)1+(47)=-2611 P(4211, 7011, -2611)

12. Encuentra los puntos que dividen al segmento P1(3,6,9) P2(-1, -4, -5) en 3 partes iguales.

x=3+12(-1)1+12=53 y=6+12(-4)1+12=83 z=9+12(-5)1+12=133

x=3+2(-1)1+2=13 y=6+2(-4)1+2=-23 z=9+2(-5)1+2=-13
P1(53, 83, 133) P2(13,-23, -13)

13. Encuentra las coordenadas del punto P que divide alsegmento A (6, 4 ,8) y B (-2, 10, 2) en la razón r=-4.

x=6+(-4)(-2)1+(-4)=-143 y=4+(-4)(10)1+(-4)=12 z=8+(-4)(2)1+(-4)=0
P(-143, 12, 0)

14. Hallar las coordenadas del punto P de división del segmento A (3, 5,-2) y B (4,-3,5) si es dividido en la r= 23

x=3+23(4)1+23=175 y=5+23(-3)1+23=95 z=-2+23(5)1+23=45
P(175, 95, 45)

Pag. 26
1) DETERMINA LOS COSENOS DIRECTORES DE LA RECTAQUE PASA POR LOS PUNTOS;
a) (3,-1,2) , (4,1,5)
1,2,3
Cos= 11+4+9=114(1414)= 1414
Cos= 214(1414)=21414=147
Cos= 314(1414)= 31414

b) (4,2,3), (-4,5,-2)
-8,3,-5
Cos=-864+9+25= -898= -872(22)= -8214= -427
Cos=372(22)=3214
Cos=-572(22)= -5214

c) (0,4,7), (0,6,10)
0,2,3
Cos=0
Cos=215(1515)= 21515
Cos= 315(1515)= 31515= 155

d) (0,3,0), (0,-2,0)
0,-5,0
Cos=0
Cos=-525= -55= -1Cos=0
2) HALLA LOS ANGULOS DIRECTORES DE LA RECTA QUE TIENE POR NUMEROS DIRECTORES, LOS QUE TE DAN A CONTINUACION.

a) 3,-1,5
Cos=39+1+25= 335(3535)= 33535
Cos=-135(3535)= -3535
Cos=535(3535)=53535=357

b) 1,5,7
Cos=175=153(33)=315
Cos=553(33)=5315=33
Cos=753(33)=7315

c) 4,-8,1
Cos=481=49=23
Cos=-89=-43
Cos=19

d) 2a,-2a,a
Cos=2a9a2=2a3a
Cos=-2a3a
Cos=a3a

e) -2,0,0Cos=-24=-22= -1
Cos=0
Cos=0

3) ENCONTRAR LOS COSENOS DIRECTORES DE LA RECTA A PARTIR DE LOS DATOS QUE SE PROPORCIONAN

a) ==45o
Cos=22 222+222+ Cos2=1
Cos=22 12+ 12+ cos2=1
Cos =0

b) =3, =6,   es obtuso.

Cos= 12 Cos602+ Cos302 + Cos2=1
Cos= 34 14+ 34+ cos2=1
cos=0

c)  es agudo, =120o, =135o
Cos= -12 14+ 12+ cos2=1
Cos= -22 cos=12
Cos=12

d)Los tres ángulos son iguales.
===60o
cos=12 cos=12 cos=12

Pag. 27.
4) Hallar el ángulo formado por las rectas dirigidas cuyos cosenos directores son: 89, -49, 19 y 23, 13, -23.

Cos = 8923 + -4913 + 19-23892 + -492 + 192 232 + 132 + 232
Cos = 1324 - 424 - 2241 + 1= 5122= 524
= Cos-1524
= 77.97 o

5) Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos 2.5,3, 4,4,2y -3,2,7
PENDIENTE...

6) Encuentra los ángulos interiores de un cuadrilátero cuyos vértices son los puntos 0,-1,8, 6.0,0 y 2,7,0.
PENDIENTE...

7) Prueba mediante ángulos, que los puntos A2,1,3, B5,-1,2 y C1,-4,3 son los vértices de un triángulo isósceles.

dAB= (2-5)2 + (1+1) 2 + (3-2)2 = 14
dBC= (5-1)2 + (-1+4)2 + (2-3)2= 26
dAC= (2-1)2 + (1+4)2 + (3-3)2= 26

Cos A= (-314)(126)...