Calculo En Varias Variables

´ UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

´ EJERCICIOS CALCULO EN VARIAS VARIABLES Rectas y Planos 1. En los siguientes ejercicios obtener el conjunto de ecuaciones param´tricas y e ecuaciones sim´tricas de las rectas dadas. e a) La recta que pasa por el origen y es paralela al vector v = (1, 2, 3). b) La recta que pasa por el punto (−2, 0, 3) y es paralela al vectorv = 2i + 4j − 2k. 2 2 c) La recta que pasa por los puntos (5, −3, −2) y (− , , 1). 3 3 d ) La recta que pasa por el punto (1, 0, 1) y es paralela a la recta dada por x = 3 + 3t, y = 5 − 2t, z = −7 + t. e) La recta que pasa por el punto (2, 3, 4) y es paralela al plano xz y al plano yz. 2. Determine cual de los siguientes puntos pertenece a la recta L, que pasa por el punto (−2, 3, 1) y esparalela al vector v = 4i − k. a) (2, 3, 0) b) (−6, 3, 2) c) (2, 1, 0) d ) (10, 3, −2) e) (6, 3, −2)

3. Determine si las rectas se cortan, si es as´ hallar el punto de intersecci´n y el ı, o coseno del ´ngulo de corte. a x y−2 a) x = 4t + 2, y = 3, z = −t + 1 =z+1 b) = 3 −1 x = 2s + 2, y = 2s + 3, z = s + 1 x−1 z+3 =y+2= 4 −3 4. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuaci´n del plano especificadoo a) El plano pasa por el punto (2, 1, 2) y su vector normal es n = i. b) El plano que pasa por el punto (3, 2, 2) y su vector normal es n = 2i + 3j − k. c) El plano que pasa por los puntos (0, 0, 0), (1, 2, 3) y (−2, 3, 3). d ) El plano pasa por los puntos (1, 2, 3), (3, 2, 1), (−1, −2, 2). e) El plano contiene al punto (1, 2, 3) y es paralelo al plano xy
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f ) El plano que contiene las rectas dadas por x−1 =y−4=z −2 x−2 y−1 z−2 = = −3 4 −1 g) El plano pasa por los puntos (2, 2, 1), (−1, 1, −1), y es perpendicular al plano de ecuaci´n 2x − 3y + z = 3. o h) El plano que pasa por los puntos (1, −2, −1), (3, 2, 1), y es paralelo al eje x. Superficies en R3 5. En los siguientesejercicios determine la superficie correspondientes a las ecuaciones dadas y dib´jelas. u a) z = 3 b) x2 − y = 0 c) y 2 − z 2 = 0 d ) y2 + z2 = 9 e) 4x2 + y 2 = 4 y2 + z2 = 1 4 2 g) 16x − y 2 + 16z 2 = 4 f ) x2 + h) x2 − y + z 2 = 0 i ) 16x2 + 9y 2 + 16z 2 − 32x − 36y + 36 = 0 j ) 4x2 − y 2 + 4z 2 = −16

6. En los siguientes ejercicios dibuje la regi´n limitada por las gr´ficas de las o aecuaciones a) z = 2 x2 + y 2 , z = 2. b) x2 + y 2 = 1, x + z = 2, z = 0. Funciones de varias variables 7. En los siguientes ejercicios determine si z es funci´n de las variables x e y o a) x2 + y 2 + z 2 = 4 b) exyz = 4 c) x2 y 2 z = 10 c) z = 4 − x2 − y 2 , y = 2z, z = 0.

8. En los ejercicios siguientes, determinar valor de la funci´n dada. o x a) f (x, y) = y
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1) f (3, 2) 2) f (−1, 4) 3) f (30, 5)
y

4) f (5, y) 5) f (b, b2 ) 6) f (f (0, 1), f (x, y)) (2t − 3)dt

b) f (x, y) =
x

1) f (0, 4)
y

2) f (1, 4) 1 dt t 3) g(g(4, 1), g(6, 3))

c) g(x, y) =
x

1) g(4, 1) 2) g(6, 3)

9. En los siguientes ejercicios encuentre el dominio de la funci´n y su recorrido. o a)f (x, y) = b) f (x, y) = c) z(x, y) = 4 − x2 − y 2 x+y−1 y 2 − 4x2 2 d ) h(x, y) = 3x2 + 4y 2 − 12

e) f (x, y) = x2 + y 2 + 1 f ) g(x, y) = 4 − 4y + y 2 − x2 g) f (x, y) = x2 + y 2

10. Dibujar la gr´fica de las siguientes funciones a a) f (x, y) = b) f (x, y) = 1 c) z(x, y) = 3 4 − x2 − y 2 x − y2 − 1 1 − x2 − 4y 2 d ) h(x, y) = − 1 − x2 + y 2 e) f (x, y) = g) f (x, y) = y − 2x2 4 − x2 + y 2− 4y f ) g(x, y) = − x2 − y

11. Dibujar la gr´fica de la funci´n f (x, y) = x2 +y 2 , y sobre esta superficie dibuje a o el gr´fico de z = f (1, y) y z = f (x, 1). a 12. Describir las curvas de nivel de cada funci´n, y dib´jelas para los valores de o u c propuestos. a) f (x, y) = 25 − x2 − y 2 , c = 0, 1, 2, 3, 4 b) f (x, y) = xy, c = −1, 1, 3, −3 x 1 3 c) z(x, y) = 2 , c = ± ± , ±1, ±2 x + y2...