Calculo III

Universidad Aut´
onoma de Ciudad Ju´
arez

Notas de C´
alculo III
Dr. Elifalet L´opez Gonz´alez
Ciudad Cuauht´emoc Chih.
Agosto de 2015
˜o y Automatizacio
´n
Ingenier´ıa en Disen
´ n Multidisciplinaria de la UACJ
Divisio
´moc
en Cuauhte
´ctrica y
Departamento de Ingenier´ıa Ele
´n
Computacio
Instituto de Ingenier´ıa y Tecnolog´ıa

´Indice general
´
1. Algebra
de vectores en el plano y en elespacio
1.1. Vectores en el plano y el espacio . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Longitud o magnitud de vectores y distancia . . . . . . . . .
1.3. Suma de vectores y multiplicaci´on de vectores por escalares .
1.4. Vector en forma de combinaci´on lineal de los vectores unitarios
can´onicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Vector unitario en la direcci´on de un vectordado . . . . . .
1.6. Vectores en forma de componentes . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Producto escalar y ´angulo entre dos vectores . . . . . . . . .
1.8. Proyecci´on y componentes de un vector . . . . . . . . . . . .
1.9. Cosenos directores de un vector del espacio . . . . . . . . . .
1.10. Producto vectorial de dos vectores . . . . . . . . . . . . . . .
1.11. Triple producto vectorial . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
1.12. Rectas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13. Ecuaci´on de un plano del espacio . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliograf´ıa

.
.
.

2
2
4
5

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

6
7
9
10
13
16
18
22
23
24
27

i

´INDICE GENERAL

ii

Titulo: Material de apoyo del curso C´alculo III.
Compiladores: Latex (Editor adecuado para textos cient´ıficos).Lugar: Ciudad Cuauht´emoc, Chihuahua, M´exico.
Universidad Aut´onoma de Ciudad Ju´arez, Agosto de 2015, 90 p´aginas.
Los temas relacionados con la signatura son: C´alculo I y II.

1

Introducci´
on.
Presentamos estas notas como material de apoyo para el curso de C´alculo
III. En el primer cap´ıtulo se trabajan conceptos b´asicos de geometr´ıa con
vectores en el plano y en el espacio.

Cap´ıtulo 1
´Algebra
de vectores en el plano
y en el espacio
El sistema de los n´
umeros reales se deonta por R, a sus elementos se les
conoce como escalares en el contexto de f´ısica. Un vector es un elemento de
un espacio vectorial como R2 o R3 .

1.1.

Vectores en el plano y el espacio

Denotamos por R2 al producto cartesiano
R2 = R × R = {(x, y) : x, y ∈ R},
donde R es sistema de los n´
umeros reales.Recordemos que (x, y) se considera
diferente de (y, x) a menos de que x = y. A los elementos de R2 , es decir,
a los pares ordenados de n´
umeros reales, les llamamos vectores ya que estos
cumplen las propiedades de espacio vectorial.
Geom´etricamente R2 se representa por dos ejes en un plano (los ejes son
los n´
umeros reales) perpendiculares entre si que se intersectan en el punto
origen de lasrectas. A cada punto (a, b) ∈ R2 se le asocia el punto del plano
que corresponde a la intersecci´on de la recta vertical que pasa por x = a y la
recta horizontal que pasa por y = b. A esta representaci´on de R2 se le llama
plano cartesiano. A la recta horizontal se le llama eje de las abscisas o
de las equis y a la recta vertical eje de las ordenadas o de las yes. Al
punto (0, 0) del plano en donde secortan los ejes se llama origen.

2

´
CAP´ITULO 1. ALGEBRA
DE VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO3
De manera an´aloga, denotamos por R3 al triple producto cartesiano
R3 = R × R × R = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}.
A los elementos de R3 , es decir, a las ternas ordenadas de n´
umeros reales, les
llamamos vectores ya que estos cumplen las propiedades de espacio vectorial.
Al espacio R3 se le puedepensar como una colecci´on infinita de planos
paralelos los cuales se colocan a diferentes alturas, un plano por cada altura
z ∈ R.
Notemos que si seleccionamos un sistema de unidades de longitud y un
origen, y direcciones de ejes coordenados x, y y z, entonces a cada punto
P del espacio le podemos asociar un elemento de R3 el cual est´a dado por
(a, b, c). Si a ≥ 0, entonces P se encuentra en el...