calculo infinitesimal

El cálculo infinitesimal
El avance más importante en la historia de las matemáticas fue el cálculo infinitesimal. Fue inventado alrededor de 1680 por Isaac Newton y Gottfried Leibniz de forma independiente. Leibniz lo publicó primero, pero Newton reclamó la prioridad y describió a Leibniz como un plagiario. Newton llamó a su teoría “el sistema del mundo”.
Resulta curioso, que Newton en supublicación más importante “Principia Mathematica”, apenas menciona el cálculo infinitesimal. Es probable que Newton utilizase los métodos del cálculo infinitesimal para hacer muchos de sus descubrimientos, pero decidió no presentarlos de esta forma.
El cálculo infinitesimal es la matemática de las tasas de cambio instantáneas. Por ejemplo: un tren se mueve por una vía: ¿con qué rapidez se mueveprecisamente ahora? El cálculo infinitesimal tiene dos ramas principales: el cálculo diferencial y el cálculo integral.
El cálculo diferencial proporciona métodos para calcular tasas de cambio, y tiene muchas aplicaciones geométricas, en particular encontrar tangentes a curvas. El cálculo integral hace lo contrario: dada la tasa de cambio de una magnitud, determina la propia magnitud. Las aplicacionesgeométricas del cálculo integral incluyen los cálculos de áreas y volúmenes.
El cálculo infinitesimal trata de funciones: procedimientos que toman un número general y calculan un número asociado. El procedimiento se especifica normalmente por una fórmula, que asigna a un número dado x (posiblemente en un rango específico) un número asociado f(x). Ejemplo es la función raíz cuadrada f(x) = √x(que requiere que x sea positivo) y la función cuadrada f(x) = x2 (donde no hay ninguna restricción para x).
La primera idea clave del cálculo infinitesimal es la diferenciación, que obtiene la derivada de una función. La derivada es la tasa a la que está cambiando f(x), comparada con cómo está cambiando x: la tasa de cambio de f(x) con respecto a x.
Desde el punto de vista geométrico, la tasa decambio es la pendiente de la tangente a la gráfica de f en el valor x. puede aproximarse encontrando la pendiente de la secante: una línea que corta a la gráfica de f en dos puntos próximos, correspondientes a x y x + h, respectivamente donde h es pequeño. La pendiente de la secante es:
(f(x+h)-f(x))/h
Supongamos ahora que h se hace muy pequeño. Entonces la secante se aproxima a la tangente ala gráfica en x. De modo que, en cierto sentido, la pendiente requerida –la derivada de f en x- es el “límite” de esta expresión cuando h se hace arbitrariamente pequeño.
Ensayemos este cálculo con un ejemplo sencillo, f(x) = x2. En este caso:
(f(x+h)-f(x))/h=(〖(x+h)〗^2-x^2)/h=(x^2+2hx+h^2-x^2)/h=2x+h
A medida que h se hace muy pequeño, la pendiente 2x + h se aproxima cada vez más a 2x. Porello, la derivada de f es la función g para la que g(x) = 2x.
La otra idea clave en el cálculo infinitesimal es la de integración. Esto se ve más fácilmente como el proceso inverso de la diferenciación. Así, la integral de g, escrita:
∫▒g(x)dx
Es cualquier función f(x) cuya derivada es g(x). Por ejemplo, puesto que la derivada de f(x) es g(x) = 2x, la integral de g(x) = 2x es f(x). En símbolos:∫▒〖2x dx=x^2 〗
La inspiración para la creación del cálculo infinitesimal no sólo llegó de las matemáticas sino también de la física: una comprensión creciente de que la naturaleza tiene pautas, y que estas implican tasas de cambio. Por ello sólo tienen sentido, y sólo pueden descubrirse, gracias al cálculo infinitesimal.
Antes del Renacimiento, el modelo más preciso del movimiento del Sol, la Luna ylos planetas era el de Ptolomeo. En su sistema la Tierra estaba fija, y todo lo demás – en particular el Sol – giraba a su alrededor en una serie de círculos. El modelo de Ptolomeo encajaba muy bien con las observaciones y durante más de mil años se vio como la última palabra sobre el tema. Sus escritos, traducidos al árabe como Almagesto, fueron utilizados por astrónomos de muchas culturas....