ESQUEMA DE INFLUENCIAS EN EL DESARROLLO DEL CÁLCULO INFINITESIMAL

EL DESARROLLO HISTÓRICO DE LA GEOMETRÍA


I. LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES

Se toma a Grecia como punto de partida por la continuidad histórica que puede establecerse respecto a la historia de las matemáticas. El propósito es marcar las características que ponen en evidencia sus bases metodológicas y el marco epistemológico dentro del cual se mantuvieron los geómetras griegos, siendo “LosElementos” de Euclides los que marcan la contribución más grande a la metodología de la ciencia hecha en la antigüedad, en donde se demostró más rigurosamente lo que no había sido suficientemente bien demostrado antes de él; en donde se presenta la primera axiomatización en la historia de las matemáticas. “Los Elementos” tienen el primordial interés de representar acabadamente el tipo de geometría quecaracteriza el periodo que va desde la Antigüedad hasta la época Moderna.

II. LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

Con Descartes y su “Discurso del Método” y con la geometría analítica, se da el primer gran salto , posterior a los griegos; el apéndice titulado “La Géométrie” es el hito que marca el comienzo de la edad moderna en matemáticas. Descartes y Fermat sustituyen los puntos de un plano por paresde números, y las curvas por ecuaciones, es decir, “algebrizan” la geometría. El cálculo diferencial creado por Newton y Leibniz dio a la geometría analítica un alcance insospechado. Desde allí, otros matemáticos completarían la “reducción” de la geometría al análisis. La geometría de Descartes se distingue de la geometría antigua en que establece, por una sola fórmula, propiedades generales defamilias de curvas, en vez de propiedades particulares de algunas curvas (generalización vs. particularización).

III. LA GEOMETRÍA PROYECTIVA

Después de la geometría analítica, se establece un cuerpo de doctrina a partir del cual se opera una revolución profunda en el pensamiento matemático, con Poncelet y Chasles principalmente.. Poncelet se plantea el problema que consiste en buscar, pormétodos propios de la geometría (sin el álgebra), la manera de aplicar el razonamiento implícito, haciendo “abstracción” de la figura, y de obtener el mismo grado de generalidad que la geometría analítica. Chasles concluye que el álgebra aporta enormes ventajas a la geometría, y se pregunta: ¿No es natural que se busque introducir en forma similar en la geometría pura transformaciones análogasrealizadas directamente sobre las figuras propuestas y sobre sus propiedades? Poncelet y Chasles incorporan los “sistemas de transformaciones” como método fundamental de la geometría, y a partir de los métodos algebraicos introducen su nueva concepción de la geometría; al introducirlos en la geometría proyectiva, se logra una notable generalización y simplificación de muchos métodos parciales. Por suparte, Félix Klein logra dar a sus ideas un grado de generalidad tal, que hará posible una síntesis total de toda la geometría. Su descubrimiento central fue la naturaleza proyectiva de las geometrías no euclidianas; sus trabajos abren el camino a una nueva etapa de la geometría que la incorpora a la matemática moderna.

IV. ANTECEDENTES DE LA NOCIÓN DE TRANSFORMACIÓN

La noción de“transformación” constituye la base de la nueva geometría que se desarrolló en el siglo XIX. Su estudio histórico tiene como fin establecer qué factores impidieron el desarrollo de ideas que, luego de ser vislumbradas quedaron en estado embrionario, a veces durante siglos.

a) Los antecedentes griegos.- Chasles cree que el libro de los “porismas” de Euclides hubiera dado lugar hace mucho tiempo a laconcepción y al desarrollo de las teorías elementales de la “relación anarmónica”, de las “divisiones homográficas” y de la “involución”. Arquímides obtiene el “área de la curva” concibiendo dicho espacio como el “límite” al cual se aproximan los polígonos inscritos y circunscritos cuando se multiplica el número de lados de manera que la diferencia entre ellos se haga sumamente pequeña; se encuentra...