Calculo integral arandelas

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER





“VOLUMENES POR LOS METODOS DE ARANDELAS, CAPAS Y CASQUILLOS”



Facultad de ingenierías
INGENIERIA MECANICA




Trabajo presentadopor:





Cúcuta, Norte De Santander
Junio de 2013

Volumen Mediante Método de Arandelas
Este método se basa en el método anterior llamado "Método de Discos" pero en este caso se utilizan dosdiscos. El disco mas pequeño es vació por la tanto se le da el nombre de arandela por formar un especie de solido hueco. En términos generales este método se utiliza cuando el eje de rotación seencuentra a una distancia de la función que formara el solido. Este espacio entre el eje y la función crea un hueco en el solido, por esto mismo se necesita restar el área del hueco al solido enrevolución.

Ejemplo # 1
Hallar el volumen del sólido resultante al hacer girar en el eje  la figura encerrada por las curvas: 
 
  

para encontrar el área de un anillo:  
tenemos que:  
Encontramosel volúmen 
 
calculamos para n-anillos y optimisamos. 
 
Reescribimos como la integral variando de 0 a 1
 
 
Ejemplo # 2
Encontrar el volúmen del sólido obtenido al girar la región limitadapor las curvas  alrededor del eje 
-las curvas quedarían graficadas de la siguiente manera: 
 
siendo la curva roja  y la azul . 
igualamos:

despejamos:

obtenemos el punto de interseccion delas 2 curvas sobre el eje y:
.
con esto sabemos que el integral correria desde  hasta .
ahora construyamos el integral:
sabemos que hay dos curvas una sobre la otra, con la grafica podemos darnoscuenta que  está sobre , esto quiere decir que el volúmen de un solo disco vendría dado por: ,
Entonces, el volúmen total del sólido sería: 

Y expresado en una integral definida sería:resolviendo la integral:
 
la respuesta final: 
Por medio del método de discos

Este método consiste en hacer rotar nuestra función sobre algún eje para obtener un sólido de...