Calculo integral, metodos de integracion

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Cap´ ıtulo 1 ´ ´ METODOS DE INTEGRACION
1.1. Integraci´n por partes o

Esta importante t´cnica se basa en la llamada F´rmula de integraci´n por partes: e o o udv = uv − vdu

donde u = (x) y v = v(x) son funciones con derivadas continuas. Para obtener la ecuaci´n anterior recordemos la derivada de un producto: sabemos o que (u(x)v(x)) = u(x)v (x) + u (x)v(x). Es decir u(x)v(x) es unaantiderivada de la expresi´n u(x)v (x) + u (x)v(x) o en otras palabras o u(x)v (x) + u (x)v(x) dx = u(x)v(x) + C ⇒ ⇒ u(x)v (x) dx + u (x)v(x) dx = u(x)v(x) + C u (x)v(x) dx

u(x)v (x) dx = u(x)v(x) −

Teniendo en cuenta que v (x)dx = dv, u (x)dx = du y omitiendo el argumento x la ultima ecuaci´n se convierte en la f´rmula de integraci´n por partes ´ o o o udv = uv− vdu.

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´ ´ CAP´ ITULO 1.METODOS DE INTEGRACION

Como podemos ver, la f´rmula expresa la integral del lado izquierdo en t´rminos de otra o e integral. La t´cnica resulta adecuada siempre que la segunda integral sea m´s sencilla e a que la primera. Generalmente se usa integraci´n por partes cuando en un integrando o aparece el producto de dos funciones, t´ ıpicamente de distinta naturaleza, tales como un polinomio poruna funci´n trigonom´trica o una funci´n algebraica por un logaritmo, o e o etc. como por ejemplo en (2x + 1) cos x dx. Para empezar debemos decidir qu´ factor del integrando ser´ considerado como la e a funci´n u, con lo cual necesariamente los factores restantes junto con el diferencial dx o har´n el papel de dv. No existe una manera infalible de hacer tal elecci´n pero una a o recomendaci´ngeneral es procurar que dv sea f´cil de integrar y que u se simplifique al o a derivarse. Ejemplo 1 Calcule la integral Soluci´n o Sea u = 2x − 3 y dv = sec2 x dx. Entonces du = 2dx y v = tan x. Remplazando en la f´rmula de integraci´n por partes obtenemos: o o sec2 x(2x − 3) dx

sec2 x(2x − 3) dx = (2x − 3) tan x − 2

tan x dx

= (2x − 3) tan x + 2 ln | sec x| + C

Ejemplo 2 Calcule laintegral x2 ln x dx

´ 1.1. INTEGRACION POR PARTES Soluci´n o Sea u = ln x y dv = x2 dx.

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1 o o Entonces du = x dx y v = 1 x3 . Remplazando en la f´rmula de integraci´n por partes 3

obtenemos:

1 x2 ln x dx = x3 ln x − 3 1 = x3 ln x − 3 1 = x3 ln x − 3 Ejemplo 3 Calcule la integral Soluci´n o ex sen 2x dx

1 1 x3 3 x 1 x2 dx 3 1 3 x +C 9

dx

Sea u = sen 2x y dv = ex dx. Entonces du= 2 cos 2xdx y v = ex . Reemplazando en la f´rmula de integraci´n por partes obtenemos: o o

ex sen 2x dx = ex sen 2x − 2 La expresi´n o

ex cos 2xdx

ex cos 2xdx, debe integrarse por partes, entonces:

Sea u = cos 2x y dv = ex dx. Entonces du = −2 sen 2xdx y v = ex . Remplazando en la f´rmula de integraci´n por partes obtenemos: o o

ex sen 2x dx = ex sen 2x − 2(ex cos 2x + 2 ex sen 2xdx = ex sen 2x − 2ex cos 2x − 4

ex sen 2xdx) ex sen 2xdx

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´ ´ CAP´ ITULO 1. METODOS DE INTEGRACION

Observese que se obtiene en la expresi´n nuevamente la integral que deseamos encontrar. o Entonces transponiendo la expresi´n 4 o tenemos: ex sen 2xdx hacia el otro lado de la igualdad

ex sen 2x dx + 4 5

ex sen 2xdx = ex sen 2x − 2ex cos 2x

ex sen 2x dx = ex sen 2x − 2ex cos 2xex sen 2x − 2ex cos 2x +C 5

ex sen 2x dx =

Ejercicios propuestos secci´n 2.1 o
Realice la integral indefinida de cada una de las situaciones planteadas 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. x cos x dx Respuesta: x sen x + cos x + C
1 x sec2 3x dx Respuesta: 3 x tan 3x − 1 ln | sec 3x| + C 9

cos−1 2x dx Respuesta: x cos−1 2x − tan−1 x dx Respuesta: x tan−1 x − ln

1 2

√

1 − 4x2 + C

√1 + x2 + C

1 x2 e−3x dx Respuesta: − 3 e−3x (x2 + 2 x + 2 ) + C 3 9

x3 sen x dx Respuesta: −x3 cos x + 3x2 sen x + 6x cos x − 6 sen x + C x sen−1 (x2 ) dx Respuesta: 1 x2 sen−1 (x2 ) + 2
1 2

√

1 − x4 + C

sen (lnx) dx Respuesta: 1 x[sen (ln x) − cos (ln x)] + C 2
xex dx (1+x)2

Respuesta:

ex 1+x

+C
2 2x e 13

e2x cos 3x dx Respuesta:

cos 3x +

3 2x e 13

sen...