CALCULO INTEGRAL- UNIDAD 4- METODOS DE INTEGRACION

Metodos de integracion
3.1 Integracion por sustitucion trigonometrica.
Las expresiones irracionales de la suma o diferencia de una cantidad variable y una constante
se pueden transformar para su integración en otra expresión mediante funciones
trignometricas. Se utilizara una nueva variable y en función de ella se harán los cambios
necesarios teniendo en cuenta las relaciones pitagóricas.1)

dx
x 9 4 x2

cos  

3
9 4 x2

sen 
tan  

; 9  4 x 2  3cos 

2x
9 4 x2
2x
3

3
; 3tan   x; dx  2 sec 2 
2

cos 
1

sen cos 



3 sec 2  d
2
3 tan  3cos
2



1
csc  d  1 ln | csc   ctg | 6
3
3

 1 ln |
3

2)

 1  cot  sec  d  1 
3
3

9 4 x2
2x

 23x | c  1 ln |
3

9  4 x 2 3
2x

| cdx
x2 9 x2

x
sen  3 ;3sen  x; x 2  9sen 2 ; dx  3cos  d

cos  

9 x2
3

3cos
  9 sen2 d 
3cos

;3cos   9  x 2



1
9

cos d
sen2 cos

1
9

 

3) 

25 x 2
x

9 x2
x

9 x2
9x

1
 1  sen2 d  1  csc2  d  9 cot 
9
9

c

dx

x
sen  5 ; x  5sen ; x 2  25sen 2 ; dx  5cos  d ;5 

cos  

25x 2
5

;5cos   25  x 2

  5cos5(5cos ) d 
sen
 5ln | 5

x
sen

25  x 2
2x

25
5



cos
sen


 cos  5 cot 2   5ln |
sen

|  25  x 2  c

x  cos
sen

 cos  |

3.2 Integración por partes
Cuando se desea integrar el producto de dos funciones, siendo estas diferenciales de la misma
variable es necesario recurrir a la integración porpartes de dicho producto.

 udv  u  v   vdu
CASO I
1)  x cos

x
2

dx

u  x; du  dx
x
x
dv  cos 2 ; v  2 sen 2
x
x
x
x
 2 xsen 2   2 sen 2 1 dx  2 xsen 2  2  2  sen 2 1 dx
2
2
x
x
 2 xsen 2  4 cos 2  c

2)

x
2 xsen 2 dx

u  2 x; du  2dx
x
x
v   cos 2 ; dv  sen 2
x
x
x
x
 2 x cos 2    cos 2 2dx  2 x cos 2  2  cos 2 1 dx
2
xx
 2 x cos 2  4 sen 2  c

CASO II
1)

x

2

cos xdx

u  x 2 ; du  2 xdx
dv  cos xdx; v  senx
 x 2 senx  2  xsenxdx
u  x; du  dx
v   cos x; dv  senx
 x 2 senx  ( 2 x cos x    cos xdx )  x 2 senx  2 x cos x  2 senx  c

x

2)

2

e 3 x dx

u  x 2 ; du  2 xdx
v   1 e 3 x ; dv  e 3 x dx
3
  x 2  1 e 3 x   1 e 3 x 2 xdx
3
3
u 2 x; du  2dx;
v   1 e 3 x ; dv  1 e 3 x dx
9
3


 x2
3



3 x

e 3 x   2 xe
9



   1e9 2dx 
3 x

 x2
3

2
e 3 x  9 e 3 x 

2
27

e 3 x  c

CASO III
1)

 arctan xdx

u  arctan x; du  11x2
dv  dx; v  x
 x arctan x   1xx2 dx  x arctan x  1 ln |1  x 2 | c
2
2)

 arc sec xdx

u  arc sec x; du 

1
x x 2 1dx

v  x; dv  dx
 xarc sec x  

x
x x 2 1

dx  xarc sec x  ln | x 2  1  x |  c

3.3 integración por sustitución algebraica
Algunas integrales que no son inmediatas pueden resolverse fácilmente si se hacen
algunas sustituciones algebráicas convenientes



1)

x 2 dx
x2

a  x  2;

a 2  x  2;

  (a

2



a2  x  2

2ada  dx

a
 8 3  8a  c2 a5
5

 2  (a 4  4a 2  4)da

 2) 2 2 ada
a
3

2
 5 ( x  2)5  8 ( x  2)3  8( x  2)  c
3

x

2)

2

1  xdx

c  1 x;

c 2  1  x;

c 2  1  x;

2cdc  dx

  (c 2  1) 2 c 2cdc   (c 4  2c 2  1)2c 2 dc
2
4
 2  (c 6  2c 4  c 2 )dc  7 c 7  5 c 5  2 c 3  c
3



2
7

3)



1 x



x
x 1

z  x;



z 2 zdz
z 2 1

7

4
5



1 x



5

2
3



1 x



dx
z 2  x;

dz  2 zdz

 2  zz2 dz1

2

1
z 1
2

z2
 z 2 1
1

1
z
 2  (1  z 211 ) dz  2 z  2  1 arctan 1  c

 2 x  2 arctan x  c

3

c

3.4 Integracion por fracciones paralelas lineales
Las fracciones propias pueden expresarse como la suma de fracciones simples o fracciones...