Calculo integral

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[pic]
Universidad de Santiago de Chile
Facultad Tecnológica
Departamento de Gestión Agraria
Ingeniería en Agronegocios

TRABAJO
DE
CALCULO II

Integrantes: Claudio Bravo
Mauricio Ruiz

Carrera:Ingeniería en Agronegocios
Asignatura: Calculo II

I. Establecer el criterio que indica otros métodos para calcular el volumen en revolución.

Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que noson de revolución.

Se pueden encontrar tres métodos los cuales sirven para saber el volumen en revolución

- Método de discos
- Método de las arandelas
- Método de casquillos cilíndricos o capas

1) Método de los discos

Como sabemos las dimensiones del disco diferencial, son muy parecidas a las de un cilindro, de hecho el disco es prácticamente un cilindro cuyaaltura es mucho menor al radio de su base. De esto podemos deducir que si queremos hallar el volumen del sólido de la gráfica, es necesario sumar los volúmenes de los discos que quepan dentro del sólido y si llevamos esa cantidad, hacia el infinito, igual que con el área, obtendremos la mejor aproximación del volumen y para esto ya vimos como funciona la integral definida, es por eso que para estecaso el cálculo del volumen del sólido, es una expansión del cálculo del área de una superficie plana. Calculemos el volumen del disco si, el radio es f(x) y su espesor es (x.

[pic]

[pic], de aquí, deducimos que,
[pic], por lo tanto
[pic], dado que el volumen esta entre a y b,
[pic]

De esta manera, podemos calcular el volumen de un sólido, mediante el método de los discos.EJEMPLOS:

- En función del eje X:

a. f(x): 2x
f(x), x=0…1

[pic]

Volumen por maple

Vol=Pi*int((fx1)^2,x=0..1);

[pic] entre 0 y 1

Vol. = 4/3[pic] u³

b. f(x): [pic]x ³
f(x), x=1…2

[pic]

Volumen por maple

Vol:=Pi*int((fx1)^2,x=1..2);

[pic] entre 1 y 2
Vol. = 127/3[pic] u³

- En función del eje Y:

a)
f(y)=[pic]
f(y),y=0..1

[pic]

Volumen:

Por Maple Vol:=Pi*int((fy1)^2,y=0..1);

[pic]
Vol. = 1/12[pic] u³
b)

a. f(y): [pic]
f(y), y=1…2

[pic]
Volumen:

Por Maple Vol:=Pi*int((fy1)^2,y=1..2);

[pic]

Vol. = [pic] ([pic]) u³

2) Método de las arandelas

Este método, es sin duda una expansión del anterior, debido a que también se basa en discos,pero esta vez con un agujero, es por eso que se les llama arandelas. El hecho que se presente el agujero, se debe a que el volumen de revolución lo forma la rotación de dos funciones, a un mismo sentido y a un mismo ritmo, de donde generalmente se forma un sólido hueco.

[pic]

Ahora, si miramos el dibujo nos damos cuenta que el proceso para hallar el volumen es muy similar al del métodoanterior, pero aquí es necesario hacer una resta de volúmenes para la arandela, si el radio mayor es f(x) y el radio menor es g(x), y Va es el volumen de la arandela,

[pic]

[pic],

de aquí ya podemos hallar fácilmente el volumen del sólido, desarrollando la integral definida en el intervalo (a,b(.

[pic]

EJEMPLO

En función al eje X

a) f(x)1: x
f(x)2: x ³f(x)1, x=0…1 (color cafe)
f(x)2, x=0…1 (color verde)

[pic]

Volumen:

Por Maple Vol:=Pi*int((fx1)^2-(fx2)^2,x=0..1);

[pic] X= entre 0 y 1

Vol. = 4/21[pic] u³

b)

f(x)1: 2x
f(x)2: x /3

f(x)1, x=1…2 (color cafe)
f(x)2, x=1…2 (color verde)

[pic]

Volumen:

Por Maple: Vol:=Pi*int((fx1)^2-(fx2)^2,x=1..2);

[pic] x= entre 1 y 2

Vol. =...
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