calculo integral

CENTRO DE EDUCACION VIRTUAL
CALCULO INTEGRAL
SAÚL ESPINOSA GARCÍA
MATRICULA: 30756061
MAESTRO: CÉSAR DAVID ARELLANO AGUILAR

Diferenciales e Integral Indefinida
Unidad 1
1.1 La diferencial.
Definiciones de ⌠ Δx y f’(x) Δx.

- Se llama diferencial de una función al producto de la derivada por el incremento de la variable independiente.
Ejemplo:
1.- calcula la diferencial de lafunción y= x2 derivada: = 2x diferencial de x2= 2xΔx
2.- calcula la diferencial de la función y= 5x3 para x=3 y Δx=0.1
Función=5x3 Derivada  =15x2 diferencial de 5x3 = 15x2Δx
⌠ Δx= a la operación inversa de la diferencial
Ejemplo: si la diferencial de x2 = 2x Δx, su integral será= ⌠ 2xΔx= x2 + C
Un dato importante es que la integral de la diferencial des igual a la función mas unaconstante
Interpretación gráfica de dy.

Sea la función de la grafica y = f(x), y su diferencial f´(x), que se identifica como el valor de la derivada en A; si el incremento de la variable independiente Δx =dx = AB, con base en la definición de de diferencial resulta que:

y= f(x)
dy = f´(x) dx

Recordando que el valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente dela tangente a la curva en dicho punto, tenemos:

dy = f´(x) dx
dy = tanƟ(AB)

Con base en la grafica, tenemos que:

tanƟ = BC/AB
sustituyendo, se obtiene dy = (BC/AB)(AB) de donde:
dy=BC
Que representa el incremento de la ordenada de la tangente correspondiente a dx
Decimos entonces que si dx representa un incremento cualquiera se la variable independiente x para un punto A(x,y) de lacurva y = f(x), tiene por derivada

Reglas de la diferenciación.

Estas Reglas ayudan a obtener la diferencial de una función casi de forma automática. Es importante mencionar que a cada formula de derivación corresponde una diferenciación.
Así, en estas formulas las letras u y v son variables en función de x, siendo c una constante y n un número natural:





La diferencial comoaproximación del incremento.

Si el incremento de la variable independiente dx es muy pequeño, entonces dy y Δy son aproximaciones iguales, es decir:
Si dx= AB es muy pequeño, dy= BC= Δy, y=AB´
Cuando solo es necesario obtener un valor aproximado del incremento de la función, el simple hecho de calcular el valor de la diferencial será suficiente para resolver el problema.
Ejemplo:

Errorespequeños.

El uso de la diferencial proporciona resultados que son aproximados pero cuya inexactitud es tan pequeña que no es tomada en cuenta:




1.2 La integral indefinida.

Anti derivadas.

En matemáticas existen operaciones inversas: la suma y la resta, la multiplicación y la división, etc., así mismo existe una operación inversa de la derivación, como ejemplo de esto tenemos lo siguiente:Si la derivada f(x) es 3x2, ¿Cuál era la f(x)?
Esta pregunta se resuelve fácilmente recordando las formulas de la derivación y se obtiene que f(x)= x3, esta ultima recibe el nombre de función primitiva. En este caso se debe tener en cuenta que también existen otras funciones que podrían ser f(x), tales como: f(x)=x3+10, f(x)=x3+4, etc. de hecho cualquier función con la forma f(x)= x3+C ajustaperfectamente.
Entonces se tiene que la antiderivada o función primitiva de una función f(x) es otra función F(x) cuya derivada es f(x) y cuya diferencial es f(x)dx.
El conjunto de todas las funciones primitivas f(x) se denomina integral indefinida de f(x)dx. Para representar la integral se emplea el símbolo ⌠ que tiene su origen en la inicial de una palabra suma y se representa como:
F(x)=⌠f(x)dx.
Donde F(x) es la primitiva o antiderivada de f(x) y f(x) es el integrando.
Puesto que la derivada de una constante es cero, es posible sumar una constante arbitraria C a la función F(x), y, sin embargo, satisfacer la hipótesis. De modo que la integral indefinida de una función se escribe como:

⌠f(x)dx= F(x)+C.

Donde C se denomina constante de integración.

Ejemplo:...